「高等学校数学III/微分法」の版間の差分
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====合成関数の導関数====
合成関数とは、2つの関数<math>f,g</math>を用いて、<math>h(x) = f(
:<math>
( f(g(x)) )'= f'(g(x)) g'(x)
266 行
-->
例
<math>f(x) = \sqrt x</math>、<math>g(x) = x^2 + x + 1</math>とする。この合成関数は、<math>f(g(x)) = \sqrt{x^2 + x + 1}</math>である。
この合成関数の導関数を求めてみよう。
となる。▼
<math>f'(x) = \frac{1}{2 \sqrt x}</math>
<math>g'(x) = 2x + 1</math>
なので、<math>{f(g(x))}' = f'(g(x))g'(x) = \frac{2x+1}{2 \sqrt{x^2 + x + 1}}</math>
※関数<math>f,g</math>の合成関数を<math>f \circ g(x) = f(g(x))</math>と書くことがある。
合成関数の微分はライプニッツの記法を用いて、<math>y = f(u),u = g(x)</math>のとき、<math>\frac{dy}{dx} = f(g(x))'</math>、<math>f'(u) = \frac{dy}{du}</math>、<math>g'(x) = \frac{du}{dx}</math>なので、
:<math>\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \frac{du}{dx}</math>
と書くことができる。
====逆関数の導関数====
<math>( f^{-1}(y) )' = \frac{1}{( f(x) )'}</math>
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