「中学数学1年 正負の数」の版間の差分

中学生向けの数学の教科書に、英語やドイツ語の訳は不要。
(導入方法変更。普通、正負の数で量を表すことは最初に教える。)
(中学生向けの数学の教科書に、英語やドイツ語の訳は不要。)
== 加法・減法 ==
足し算のことを'''加法'''(かほう、英:addition アディション)といい、引き算のことは'''減法'''(げんぽう、英:subtraction サブトラクション)という。
 
また、加法した結果を'''和'''(わ、英:sum サム)、減法した結果を'''差'''(さ、英:difference ディファレンス)という。
 
 
== 正の数・負の数 ==
0°Cより3°C高い温度は「3°C」と表す。では、0°Cより3°C低い温度は何と表せばよいのだろうか。答えは「ー3-3°C」である。
 
まずは、この単元で学ぶ言葉の説明をする。
 
;[[w:正の数と負の数|正の数(せいのすう)]]
:今までに普通に使ってきた数で、0より大きい数を'''正の数'''(せいのかず/すう、英:positive number ポジティブ・ナンバー)という。
::例: 1 ,  12 ,  5.5 ,  <math>1 \over 3</math> など
 
;[[w:正の数と負の数|負の数(ふのすう)]]
:それに対して、ここで新しく学ぶ、0より前の小さい数を'''負の数'''(ふのかず/すう、英:negative number ネガティブ・ナンバー)という。0より小さい数を表すために、&#xFF0D;(マイナス、minus)というものを数の前につける。ここで用いられる数の前のマイナス記号「&#xFF0D;」は、小学校の引き算で用いた「&#xFF0D;」と、同じ記号である。これから、この本で説明するが、つまり0より小さいことを表す記号と、引き算の記号とは、同じような計算方法をすることになる。そのため、0より小さいことを表す記号と、引き算記号とで、同じ記号を用いている。
::例: &#xFF0D;1 ,  &#xFF0D;12 , &#xFF0D;5.5 ,  <math>-\frac{1}{3}</math> など
::: 「&#xFF0D;1」は「マイナス1」と読む。 「&#xFF0D;12」は「マイナス12」と読む。
 
;量を表す
正の数や負の数は、互いに逆の性質を持つ事柄(ことがら)を、まとめて示すときに使うことができる。
:たとえば、200円の収入を"+200円の収入"としたとき、300円の支出は"&#xFF0D;300円の収入"とあらわすことができる。
 
 
;符号
:数の値が、0よりも大きいか、小さいかの区別を、数の符号(ふごう、sign サイン)と呼ぶ。
:数の符号を表すために、数字の前に付ける記号もまた符号(ふごう、sign サイン)と呼ばれ、正の符号と負の符号の2種類がある。
:正の数を表すには、正の符号(英:plus sign プラス・サイン)として '''+'''(プラス) を使う。足し算の記号の + と同じ記号である。ただし、この数の前の符号としての+は、必要がないかぎり普通は省略して、書く手間をはぶく。いっぽう、足し算の記号としての、足す数と足される数との間にある + は、けっして省略してはならない。これから、この本で説明するが、つまり0より大きいことを表す記号と、足し算の記号とは、同じような計算方法をすることになる。そのため、0より大きいことを表す記号と、足し算記号とで、同じ記号 + を用いている。
 
また、負の数を表すには、負の符号(英:minus sign マイナス・サイン)である '''&#xFF0D;'''(マイナス) を使う。
数の大きさを表す 0 には、特別な理由が無いかぎりは正の符号 + も負の符号 - も付けないのが普通である。
 
 
; 数直線(すうちょくせん)
数を直線上の点に対応させた直線を'''数直線'''(すうちょくせん、英:number line ナンバー・ライン)という。数直線を使うと、数の大小をわかりやすくすることができる(下図)。
これは、ある直線上に'''原点'''(げんてん、英: origin オリジン、意味:0の位置)と単位点をとることで完成する。単位点とは、「ここが1」「ここが&#xFF0D;5」というように、原点からの距離をあらわす点である。
数直線では、右に行くほど大きな数になり、逆に左に行くほど小さな数になる。
<div style="float:left; margin-left: 1em; text-align:center">[[画像:Real_Number_Line.png]]<br>数直線</div><br><br><br>
 
;整数(せいすう)
:1 , 2 , 3 , ・・・などといった、1の位よりも小さい位のない数を'''整数'''(せいすう、英: integer インテジャー, 独: Ganze Zahl ガンツェ ツァール)という。整数には&#xFF0D;1,&#xFF0D;2,&#xFF0D;3,・・・といった負の数や、0も含まれる。
:1 , 2 , 3 , ・・・などのような、正の数の整数を'''正の整数'''(せいの せいすう、positive integer)という。
:&#xFF0D;1 , &#xFF0D;2 , &#xFF0D;3 , ・・・などの負の数の整数を'''負の整数'''(ふの せいすう、negative integer)という。
 
 
 
; 自然数(しぜんすう)
:中学校では'''正の整数'''のことを <big>自然数</big>(しぜんすう、英: natural number ナチュラル・ナンバー) という。具体例をあげると、たとえば1や2や3や10や47は、どれも自然数である。
 
そのため、「0」や、小数・分数は自然数とはいえない。
 
; 絶対値(ぜったいち)
:数直線上でのある数と原点の距離をその数の'''絶対値'''(ぜったいち、英: absolute value アブソリュート・バリュー)という。上の図のように、たとえば5は原点からの距離が5なので、絶対値は5である。また、(−6)は原点からの距離が6なので、絶対値は6である。
:簡単にいえば、ある数から符号を取るとその数の絶対値となる。
::発展: ある数aの絶対値を、記号を用いて '''|a|''' と表す。(注意 「中高一貫校の教科書」として読んでいる方へ:この内容は、中高一貫校の教科書「体系数学」には、発展内容ではなく普通の内容としてのっています。)
ということがいえる。
 
< と > の記号は、2つの数の大小について表す記号で'''不等号'''(ふとうごう英:unstrict inequality sign)という。
これは、開いているほうが閉じているほうよりも大きい数であることを表す。
対して、2つの数について、大小の差がなく同じであることを表す記号 = は''等号''(とうごう、英:equals sign)という。
:例: 5 は 3 より大きい・・・・・・ 5 > 3
:&#xFF0D;3 は 0 より小さい・・・・・・ &#xFF0D;3 < 0
 
== 乗法・除法 ==
掛け算のことを'''乗法'''(じょうほう、英:multiplication マルティプリケイション)、割り算のことを'''除法'''(じょほう、英:division ディビジョン)という。
 
また、乗法した結果を'''積'''(せき、英:product プロダクト)と言い、除法した結果を'''商'''(しょう、英:quotientクォウシェント)という。
 
=== 乗法 ===
つまり、整数の範囲では、加法、減法、乗法はいつでもできるが、除法は、いつでもできるとは限らない。
 
分数(ぶんすう、英:fraction フラクション)では、どうだろうか。分数どうしの計算では、値が整数になることもある。しかし、整数も分母が1の分数だとみなすことにすれば、上の <math>\Box,\triangle</math> にどんな分数を入れても、計算の結果がいつでも分数になる。つまり、分数の範囲では、加法、減法、乗法、除法はいつでもできる。
 
今までの結果を表にまとめると次のようになる。 <math>\bigcirc</math> はその範囲でいつでも可能な場合、 <math>\triangle</math> はいつでも可能と限らない場合である。ただし、除法では、0でわる場合は除いて考える。
 
;集合
数のあつまりのことを'''集合'''(しゅうごう、英:set セット)という。
自然数全体の集まりを、'''自然数の集合'''という。
 
このように、かけあわせる回数がn回なら、「n乗」と読む。
 
また、累乗において、かけあわせる回数のことを'''指数'''(しすう、英:exponent イクスポウネント)という。
たとえば、
::4<sup>3</sup>
:※ 検定教科書では4乗以上は説明を省略しているが、同様に4回かけあわせたら「4乗」である。
 
2乗のことを'''平方'''(へいほう、英:square スクウェア)とも言う。3乗のことを'''立方'''(りっぽう、英:cube キューブ)ともいう。
 
 
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