「解析学基礎/常微分方程式」の版間の差分
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<math> F \bigl( \phi (t),\; \psi (t) \bigr) \equiv 0 </math> は <math> \phi (t),\; \psi (t) </math> に関する恒等式である。なお <math> C </math> は積分定数である。
以下で、その解法を示す。
与えられた常微分方程式 <math> \displaystyle F \Bigl( k+\ell x+my,\; \; \frac{dy}{dx} \; \Bigr)= 0 </math>
に対して、<math>t</math> を媒介変数とする任意関数 <math>\phi (t), \; \psi (t)</math> を導入し、
::: <math> k + \ell x + my = \phi (t), </math>
::: <math> \displaystyle \frac{dy}{dx} = \psi (t) </math>
と置く。ただし、<math>m\ne 0</math> とする。
上式 <math>k + \ell x + my =\phi (t)</math> の両辺を<math>x</math>で微分すると、
:::<math> \displaystyle \ell + m \frac{dy}{dx} = \frac{d \phi (t)}{dt} \cdot \frac{dt}{dx} </math>
となる。
ここで、<math> \frac{dy}{dx} = \psi (t) </math> と <math> \ell + m \frac{dy}{dx} = \frac{d \phi (t)}{dt} \cdot \frac{dt}{dx}</math> から
<math> \frac{dy}{dx}</math> を消去すると、
:::<math> \displaystyle \ell + m \psi(t) = \frac{d \phi (t)}{dt} \cdot \frac{dt}{dx}</math>
を得る。この式を変形すると、
:::<math> \frac{dx}{dt} = \frac{1}{\; \ell + m \psi (t)\;} \cdot \frac{d \phi (t)}{dt}</math>
となる。上式は変数分離形であるから積分すると、
:::<math> x= \! \int \! \left\{ \frac{1}{\; \ell + m \psi (t)\;}
\cdot \frac{\; {d} \phi (t)\; }{dt} \, \right\} dt+C </math>
となり、<math>x</math> が <math>t</math> の関数として表示された。
これにより <math>y</math> は <math>k + \ell x + my =\phi (t)</math> と上式
<math> x = \int \left\{ \frac{1}{\;\ell+m\psi(t)\;} \cdot \frac{d \phi (t)}{dt} \right\} dt+C </math>
により <math>t</math> の関数として与えられる。なお <math>C</math> は積分定数である。
==== 例題1 ====
陰関数型の関数 <math> F </math> が、
<math> F \bigl( \phi (t),\; \psi (t) \bigr) = \phi (t) - \psi (t) = 0 </math>
のとき、
::: <math> x = \! \int \! \left\{ \frac{1}{\; \ell + m \psi (t)\;} \cdot \frac{\; d \phi (t) \;}{dt} \, \right\} dt+C, </math>
::: <math> k + \ell x + my = \phi (t) </math>
から、一般解を求めよ。
==== 例題2 ====
陰関数型の関数 <math> F </math> が、
<math> F \bigl( \phi (t), \; \psi (t) \bigr) = \phi (t) - \psi (t) = 0 </math>
の場合は、
::: <math> k + \ell x + my = \frac{dy}{dx} </math>
が成り立つ。この式は、1階線型常微分方程式なので求積法で解ける。
その一般解と、「例題1」の一般解とが一致することを確かめよ。
（注：積分定数は異なる形をしている。）
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