「線型代数学/行列概論」の版間の差分

:<math>A^\mathsf T = \begin{pmatrix}

を<math>A</math>の'''転置行列'''（transposed matrix）と言い、<math>A^\mathsf T </math>や<math>^tA</math>と表す。

つまり<math>A^tA\mathsf T</math>とは、<math>A</math>の縦横をひっくり返した行列である。

# <math>^t(A^tA\mathsf T)^\mathsf T = A</math>

# <math>^t(A+B)^\mathsf T = A^tA\mathsf T + B^tB\mathsf T </math>

# <math>^t(\lambda A)^\mathsf T = \lambda (A^tA\mathsf T)</math>

# <math>^t(AB)^\mathsf T = B^tB\mathsf T A^tA\mathsf T </math>

<math>A=(a_{i,jij}),B=(b_{i,jij})</math>とする。

#転置行列とは、行と列を入れ替えた行列なので、2回行と列を入れ替えれば、もとの行列に戻ることは自明である。

#<math>^t(A+B)=^\mathsf T</math>の<math>(i,j)</math>成分は<math>a_{ji}+b_{ji}</math>であり、<math>A ^tA\mathsf T +B ^tB=\mathsf T </math>の<math>(i,j)</math>成分は<math>a_{ji}+b_{ji}</math>であるから。

#<math>^t(\lambda A)^\mathsf =T </math>の<math>(i,j)</math>成分は<math> \lambda a_{ji}</math>であり、<math>\lambda(A ^tA\mathsf T) =</math>の<math>(i,j)</math>成分は<math> \lambda a_{ji}</math>であるから。

#<math>AB </math>の<math>(i,j)</math>成分は<math> = \sum_{k=1}^{n} a_{i,kik} b_{k,jkj}</math>なので、<math>^t(AB) =^\mathsf T </math>の<math>(i,j)</math>成分は<math> \sum_{k=1}^{n} a_{j,kjk} b_{k,iki}</math>である。次に、<math>A ^tA\mathsf =T </math>の<math>(i,j)</math>成分は<math> a_{j,iji}, B ^tB\mathsf =T </math>の<math>(i,j)</math>成分は<math> b_{j,iji}</math>であるので、<math>A ^tA\mathsf T B ^tB\mathsf =T </math>の<math>(i,j)</math>成分は<math> \sum_{k=1}^{n} a_{j,kjk} b_{k,iki}</math>であるから。