「ガロア理論/代数拡大」の版間の差分

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Angol Mois (トーク | 投稿記録)
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(ii)<math>F(\alpha)</math> を <math>F</math> 上のベクトル空間としてみたとき、<math>1, \alpha, \alpha^2, \cdotcdots, \alpha^{d-1}</math> が生成元であることが (i) よりわかる。
 
<math>d = \deg f</math> として、<math>x^d = f(x)q(x) + r(x), \ \deg r < \deg f = d</math> と、<math>F[x]</math> 内で多項式の除算をする。<math>\alpha</math> を代入して、<math>\alpha^d = r(\alpha)</math> となる。つまり <math>\alpha^d</math> は <math>1, \alpha, \cdots, \alpha^{d-1}</math> の <math>F</math> 係数の線形結合で表せる。
 
より高次の場合も同じであり、したがって、<math>1, \alpha, \cdots, \alpha^{d-1}</math> はベクトル空間としての生成元である。これらが線型独立であることは、最小多項式の次数の最小性より自明であり、基底として <math>1, \alpha, \cdots, \alpha^{d-1}</math> が取れることがわかった。
 
 
==== 命題 3 ====