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(ii) <math>F(d = \alpha)deg f</math> をとして、<math>x^d = f(x)q(x) + r(x), \ \deg r < \deg f = d</math> と、<math>F[x]</math> 上内で多項式のベクトル空間と除算をする。<math>\alpha</math> を代入してみたとき、<math>1,\alpha^d = r(\alpha,)</math> となる。つまり <math>\alpha^2d</math> は <math>1, \alpha, \cdots, \alpha^{d-1}</math> が生成元であることがの (i)<math>F</math> よりわか係数の線形結合で表せる。
より高次の場合も同じであり、したがって、<math>1, \alpha, \cdots, \alpha^{d-1}</math> はベクトル空間としての生成元である。これらが線型独立であることは、最小多項式の次数の最小性よりしたがう。
<math>d = \deg f</math> として、<math>x^d = f(x)q(x) + r(x), \ \deg r < \deg f = d</math> と、<math>F[x]</math> 内で多項式の除算をする。<math>\alpha</math> を代入して、<math>\alpha^d = r(\alpha)</math> となる。つまり <math>\alpha^d</math> は <math>1, \alpha, \cdots, \alpha^{d-1}</math> の <math>F</math> 係数の線形結合で表せる。
より高次の場合も同じであり、基底としたがって、 <math>1, \alpha, \cdots, \alpha^{d-1}</math> はベクトル空間としての生成元である。こが取れらが線型独立であることはため、最小多項式の拡大次数の最小性より自明であり、基底としては <math>1,d \alpha,= \cdots,deg \alpha^{d-1}f</math> が取れであることがわかった。
==== 命題 3 ====
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