「ガロア理論/代数拡大」の版間の差分

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Angol Mois (トーク | 投稿記録)
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(ii) <math>F(d = \alpha)deg f</math> として、<math>x^d = f(x)q(x) + r(x), \ \deg r < \deg f = d</math> と、<math>F[x]</math> 内で多項式ベクトル空間と除算をする。<math>\alpha</math> を代入してみたとき、<math>1,\alpha^d = r(\alpha,)</math> となる。つまり <math>\alpha^2d</math> は <math>1, \alpha, \cdots, \alpha^{d-1}</math> が生成元であることが (i)<math>F</math> よりわか係数の線形結合で表せる。
 
より高次の場合も同じであり、したがって、<math>1, \alpha, \cdots, \alpha^{d-1}</math> はベクトル空間としての生成元である。これらが線型独立であることは、最小多項式の次数の最小性よりしたがう。
<math>d = \deg f</math> として、<math>x^d = f(x)q(x) + r(x), \ \deg r < \deg f = d</math> と、<math>F[x]</math> 内で多項式の除算をする。<math>\alpha</math> を代入して、<math>\alpha^d = r(\alpha)</math> となる。つまり <math>\alpha^d</math> は <math>1, \alpha, \cdots, \alpha^{d-1}</math> の <math>F</math> 係数の線形結合で表せる。
 
より高次の場合も同じであり、基底とたがっ <math>1, \alpha, \cdots, \alpha^{d-1}</math> はベクトル空間としての生成元である。こが取らが線型独立であことはため最小多項式の拡大次数の最小性より自明であり、基底として <math>1,d \alpha,= \cdots,deg \alpha^{d-1}f</math> が取れであことがわかった
 
==== 命題 3 ====