「ガロア理論/準備」の版間の差分

基本的には「<math>(K, +, \cdot)</math> は体である」というより、演算を省略して「<math>K</math> は体である」ということが多い。

 

*<math>\mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> は、自然な加法と乗法について体となる。

*<math>\mathbb{Z}</math> は、自然な加法と乗法について体にはならない。乗法の逆元が常に存在するとは限らないからである。

*[[ガロア理論/有限体|有限体]] <math>\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}.</math>

 

体 <math>K</math> の加法の単位元、乗法の単位元は共にただ一つ存在する。

;証明

体は加法に関して群なので一般論より成り立つ。[[群論]]参照。

 

体 <math>K</math> の元 <math>x</math> の加法の逆元はただひとつ存在する。<math>x \neq 0</math> なら、乗法の逆元はただひとつ存在する。

;証明

;定義

<math>K/F, \ K'/F</math> を体の拡大とする。<math>f : K \rightarrow K'</math> が体 <math>F</math> 上の(準)同型であるとは、体の(準)同型であり、かつ <math>F</math> 上では恒等写像であることをいう。

 

== その他の定義 ==