「高等学校数学II/微分・積分の考え」の版間の差分

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== 導関数の応用 ==
=== 接線 ===
 
導関数は関数f(x)の接線の傾きに対応する。
例えば、
<math>g(x) = \frac {f(x+h) -f(x)} h</math>
という量をある小さい数hについて考えると,これは、fの地点xでの傾きにおおよそ等しい。
このことからhを限りなく小さくしたとき
<math>g(x)\rightarrow f'(x)</math>
に対応する量が得られることが期待できる。
もっとも実際にはそうでない場合もある。
仮にx = aという特別な点で、f'(a)が得られたとした場合、得られた値をf(x)のx=aにおける傾き(かたむき)とよび、
y- f(a) = f'(a) ( x - a)
によって表わされる直線を
f(x)のx=aにおける接線(せっせん)と呼ぶ。
 
=== 関数値の増減 ===
f'(x)は、fの傾きを表わすので、 <math>f'(x)>0</math> の点では、fは増大し、 <math>f'(x)<0</math> の点では、fは減少することがわかる。
 
これをもとに関数の概形を描くことができる。
 
f'(x)は、fの傾きを表わすので、 <math>f'>0</math>の点では、fは増大し、
<math>f'<0</math> の点では、fは減少することがわかる。
もちろん簡単にf'を求める手段が無ければ、これはほぼ無意味なことであるが、実際には多くの場合少ない手順でf'を求めることが出来るので、この関係は重要になることが多い。
 
'''例'''
=== 三次関数のグラフ ===
三次関数は
 
:<math>y=axx^3+bx^2+cx+d</math> の増減を調べる
 
の形で表され、それを''x''で微分すると
 
:<math>y'=3ax^2+2bx+c</math>
 
となる。この<math>y'</math>に0を代入して
 
:<math>3ax^2+2bx+c=0</math>
 
を''x''について解すると
 
:<math>x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-3ac}}{3a}</math>
 
となり、ここで<math>\frac{-b-\sqrt{b^2-3ac}}{3a}=\alpha,\frac{-b+\sqrt{b^2-3ac}}{3a}=\beta</math>とおく。
 
;<math>\alpha<\beta</math>のとき
<math>a>0</math>のときは、<math>- \infty <x<\alpha</math>で<math>y'>0</math>より増加、<math>x=\alpha</math>で<math>y'=0</math>より傾きが0、<math>\alpha<x<\beta</math>で<math>y'<0</math>より減少、<math>x=\beta</math>で<math>y'=0</math>より傾きが0、<math>\beta<x<\infty </math>で<math>y'>0</math>より増加となる。
 
逆に<math>a<0</math>のときは、<math>- \infty <x<\alpha</math>で<math>y'<0</math>より減少、<math>x=\alpha</math>で<math>y'=0</math>より傾きが0、<math>\alpha<x<\beta</math>で<math>y'>0</math>より増加、<math>x=\beta</math>で<math>y'=0</math>より傾きが0、<math>\beta<x<\infty </math>で<math>y'<0</math>より減少となる。
 
*例、<math>y=x^3-3x</math>
 
両辺を''x''で微分すると
 
:<math>y'=3x^2-3</math>
 
<math>y'=0</math>を代入すると<math>x=-1,1</math>となり、<math>- \infty <x<-1</math>で<math>y'>0</math>より増加、<math>x=-1</math>で<math>y'=0</math>より傾きが0、<math>-1<x<1</math>で<math>y'<0</math>より減少、<math>x=1</math>で<math>y'=0</math>より傾きが0、<math>1<x<\infty</math>で<math>y'>0</math>より増加となる。
 
;<math>\alpha=\beta</math>(重解)のとき
<math>a>0</math>のときは、<math>- \infty <x<\alpha</math>で<math>y'>0</math>より増加、<math>x=\alpha</math>で<math>y'=0</math>より傾きが0、<math>\alpha<x<\infty </math>で<math>y'>0</math>より増加となり、<math>- \infty <x<\infty</math>で<math>y'\ge 0</math>より増加となる。
 
逆に<math>a<0</math>のときは、<math>- \infty <x<\alpha</math>で<math>y'<0</math>より減少、<math>x=\alpha</math>で<math>y'=0</math>より傾きが0、<math>\alpha<x<\infty </math>で<math>y'<0</math>より減少となり、<math>- \infty <x<\infty</math>で<math>y'\le 0</math>より減少となる。
 
*例、<math>y=x^3</math>
 
両辺を''x''で微分すると
 
:<math>y'=3x^2</math>
:となる。これは常に正なので、 <math>y=x^3</math> は常に増加することがわかる。
 
<math>y'=0</math>を代入すると<math>x=0</math>となり、<math>- \infty <x<0</math>で<math>y'>0</math>より増加、<math>x=0</math>で<math>y'=0</math>より傾きが0、<math>0<x<\infty</math>で<math>y'>0</math>より増加となり、<math>-\infty<x<\infty</math>で<math>y'\ge 0</math>より増加となる。
 
;<math>\alpha</math>と<math>\beta</math>が虚数解(実数解なし)のとき
<math>a>0</math>のときは、<math>- \infty <x<\infty</math>で<math>y'>0</math>より増加となる。
 
逆に<math>a<0</math>のときは、<math>- \infty <x<\infty</math>で<math>y'<0</math>より減少となる。
 
*例、<math>y=x^3+3x</math>
 
両辺を''x''で微分すると
 
:<math>y'=3x^2+3</math>
 
<math>y'=0</math>を代入すると''x''に実数解を持たないので、<math>-\infty<x<\infty</math>で<math>y'>0</math>より増加となる。
 
 
=== 関数の極大・極小 ===