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「高等学校数学III/積分法」の版間の差分

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Nermer314 (トーク | 投稿記録)
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141 行
====部分積分法====
 
関数の積の積分を行なうときある関数の微分だけを取りだして積分すると、うまく積分できる場合がある。関数 <math>g(x)</math> の原始関数を <math>G(x)</math> とすると
 
取りだして積分すると、うまく積分できる場合がある。
<math>\int f(x) g'(x) \, dx = f(x) gG(x) - \int f'(x) gG(x) \, dx</math>▼
 
▲<math>\int f(x) g'(x) dx = f(x) g(x) - \int f'(x) g(x) dx</math>
 
 
導出
 
積の微分法より <math>\{f(fgx)G(x)\}' = f'g(x)G(x) + fg'f(x)g(x)</math> である。これを移項して
 
についてf'gを左辺に移項する。
 
このとき
 
<math>(fg)' - f'g = fg'</math>
 
<math>\int f(x) g'(x) = \{f(x) gG(x)\}' - \int f'(x) gG(x) </math>▼
が得られるが、この両辺をxで積分すると、
 
である。両辺をxで積分して
<math>f(x) g(x) - \int f'(x) g(x) = \int f(x) g'(x)</math>▼
 
▲<math>\int f(x) g(x) - \int, dx = f'(x) gG(x) = - \int f'(x) g'G(x) \, dx</math>
が得られる。これは、▼
 
▲が得られる。これは、
▲<math>\int f(x) g'(x) = f(x) g(x) - \int f'(x) g(x) </math>
 
と等しい。
 
 
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