「高等学校数学III/積分法」の版間の差分
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222 行
|<math>= - \log | \cos x | + C</math>
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より一般的に有理関数 <math>R(x,y)</math> に対して、<math>\int R(\sin\theta,\cos\theta) \,d\theta</math> は <math>t = \tan \frac{\theta}{2}</math> とする。 <math>\tan^2\frac{\theta}{2} + 1 = \frac{1}{\cos^2\frac{\theta}{2}}</math> よって <math>\cos^2\frac{\theta}{2} = \frac{1}{1+t^2}</math>なので、<math>\frac{dt}{d\theta} = \frac{1}{2\cos^2\frac{\theta}{2}} = \frac{1}{2}(t^2+1)</math> であり、<math>\cos\theta = 2\cos^2\frac{\theta}{2} - 1 = \frac{1-t^2}{1+t^2}</math> かつ <math>\sin\theta = \tan\theta\cos\theta = \frac{2\tan\frac{\theta}{2}}{1-\tan^2\frac{\theta}{2}}\cos\theta =
\frac{2t}{1+t^2}</math>
である。よって
<math>\int R(\sin\theta,\cos\theta) \,d\theta
= \int R\left(\frac{2t}{1+t^2}, \frac{1-t^2}{1+t^2}\right) \, \frac{2dt}{1+t^2}</math>
と有理関数の積分にもち込める。
====指数・対数関数の積分====
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