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「高等学校数学C/平面上の曲線」の版間の差分

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6 行
 
===放物線===
平面上に点 <math>F</math> と、点 <math>F</math> を通らない直線 <math>l</math> をとる。このとき、直線 <math>l</math> からの距離と点 <math>F</math> からの距離が等しい点の軌跡を放物線という。このとき、点 <math>F</math> を放物線の焦点、直線 <math>l</math> を放物線の準線という。
<math>
y = ax^2
</math>
で(aは定数)与えられる式を放物線（ほうぶつせん）と呼ぶ。
これは、投げ上げられたものが落ちてくるとき、
この軌道を描くことから、この名がついた。
 
放物線はある直線（準線）への距離とその直線上にない点（焦点）への距離とが等しい点の集合と定義される曲線である。焦点が<math>(0,c)</math>、準線が<math>y=-c</math>のとき放物線は
 
焦点を <math>F(p,0)</math> 準線を <math>l:x=-p</math> とする放物線の方程式を求める。<math>P(x,y)</math> がこの放物線の点とすると、点 <math>P</math> と直線 <math>l</math> の距離は <math>x+p</math> であり、<math>PF =\sqrt{ (x-p)^2 + y^2}</math> である。なので、 <math>(x+p)^2 = (x-p)^2 + y^2</math> である。これを整理して、
<math>x^2=4cy</math>▼
 
▲<math>xy^2 =4cy 4px</math>
と表すことができる。
 
となを得る。▼
導出
 
<math>\sqrt{x^2+(y-c)^2}=y+c</math>
 
ここで、放物線 <math>y^2 = 4px</math> において、 <math>x</math> と <math>y</math> を入れ替えれば <math>y = \frac{x^2}{4p}</math> である。ここから中学から学んできた放物線の定義と一致することがわかる。
両辺を2乗して整理すると
 
<math>x^2=4cy</math>
 
▲となる。
 
同様に焦点が<math>(c,0)</math>、準線が<math>x=-c</math>のとき放物線は
 
<math>y^2=4cx</math>
 
と表すことができる。
===楕円===
楕円（だえん）とは、平面状にある2定点の距離の和が一定になるような点の集合からなる曲線である。基準となる2定点を焦点（しょうてん）という。楕円は代数的に
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