「高等学校数学C/平面上の曲線」の版間の差分
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xとyなど2つの文字について高々2次までの式で与えられる曲線で、必ず1つは2次の項がある式で与えられる曲線を二次曲線（にじきょくせん）と呼ぶ。二次曲線には放物線（ほうぶつせん）、楕円（だえん）、双曲線（そうきょくせん）がある。
==放物線==
27 ⟶ 24行目:
==楕円==
<math>a>b>0</math>のとき、<math>2a</math>は長軸の長さ（長径）、<math>2b</math>は短軸の長さ（短径）となり、''xy''平面上にグラフを書くと横長の楕円になる。また焦点は長径である''x''軸上にありその座標は<math>(-\sqrt{a^2-b^2},0),(\sqrt{a^2-b^2},0)</math>となる。▼
逆に、<math>b>a>0</math>のとき、<math>2b</math>は長軸の長さ（長径）、<math>2a</math>は短軸の長さ（短径）となり、''xy''平面上にグラフを書くと縦長の楕円になる。また焦点は長径である''y''軸上にありその座標は<math>(0,\sqrt{b^2-a^2}),(0,-\sqrt{b^2-a^2})</math>となる。▼
2つの焦点が近いほど楕円は円に近づき、2つの焦点が重なったとき<math>a=b</math>となり、楕円は完全な円になる。▼
<math>\sqrt{(x-c)^2+y^2}=2a-\sqrt{(x+c)^2+y^2}</math>
51 ⟶ 35行目:
<math>a\sqrt{(x+c)^2+y^2}=a^2+cx</math>
再度、両辺を2乗して整理すると
<math>(a^2-c^2)x^2+a^2y^2=a^2(a^2-c^2)</math>
ここで <math>a^2-c^2=b^2 \quad(b >0)</math> と置き換えると
<math>b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2</math>
両辺を <math>a^2b^2</math> で割ると
<math>\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1
が導かれる。
同様に、2つの焦点を<math>(0,c)</math>、<math>(0,-c)</math>とし、2定点の距離の和を<math>2b</math>とし、<math>b^2-c^2=a^2</math>とすると▼
▲
▲<math>a>b>0</math>のとき、<math>2a</math>は長軸の長さ（長径）、<math>2b</math>は短軸の長さ（短径）となり、''xy''平面上にグラフを書くと横長の楕円になる。また焦点は長径である''x''軸上にありその座標は<math>(-\sqrt{a^2-b^2},0),(\sqrt{a^2-b^2},0)</math>となる。
▲逆に、<math>b>a>0</math>のとき、<math>2b</math>は長軸の長さ（長径）、<math>2a</math>は短軸の長さ（短径）となり、''xy''平面上にグラフを書くと縦長の楕円になる。また焦点は長径である''y''軸上にありその座標は<math>(0,\sqrt{b^2-a^2}),(0,-\sqrt{b^2-a^2})</math>となる。
==双曲線==
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