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「高等学校数学III/微分法」の版間の差分

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Nermer314 (トーク | 投稿記録)
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49 行
:<math>\frac{d}{dx}x^n = \lim_{h\to 0}(nx^{n-1} + \sum_{k=2}^{n} {}_{n}C_{k}x^{n-k}h^{k-1}) = nx^{n-1} </math>
である。
 
=== 関数の和、差、積、商の導関数 ===
 
ここでは、関数の和、差、積、商の微分について扱う。これらの方法は以降の計算で常に用いられる内容であるので、十分に習熟しておく必要がある。
 
==== 和・差の導関数= ===
 
{{Math_theorem|
f,gを微分可能な関数とする。このとき、f,gの微分をそれぞれf',g'と書くと、fとgの和について次が成り立つ。
:<math>
\{f(x) f +\pm g (x)\}' = f'(x) +\pm g'(x)
</math>}}
これは、関数の和を微分して得られる導関数（どうかんすう）は、それぞれの関数の和を足し合わせたものに等しいことを表している。
*注意
ここで、関数としてf(x)やg(x)ではなく、単にf,gと書いた。これは例えば、f(x)ではなく、f(y)やf(a)のように異なった変数を用いても、導関数の形は変化しないということを表している。
 
導出
 
{|
|-
|<math>( f + g )'</math>
|<math>=\lim_{h\rightarrow 0} \frac {[f(x+h) + g (x+h) - (f(x) + g (x))]} h</math>
|-
|
|<math>=\lim_{h\rightarrow 0} \frac {[f(x+h) - f(x) + g (x+h) - g (x)]} h</math>
|-
|
|<math>=\lim_{h\rightarrow 0} \frac {f(x+h) - f(x)} h + \frac { g (x+h) - g (x)} h</math>
|-
|
|<math>= f' + g'</math>
|}
 
====差の導関数====
 
和の導関数と同様、fとgの差についても次が成り立つ。
:<math>
( f - g )' = f' - g'
</math>
 
導出
92 ⟶ 66行目:
{|
|-
|<math>\{f(x) f -\pm g (x) \}'</math>
|<math>=\lim_{h\rightarrow 0} \frac {[f(x+h) -\pm g (x+h) - (f(x) -\pm g (x))]} h</math>
|-
|
|<math>=\lim_{h\rightarrow 0} \frac {[f(x+h) - f(x) -\pm (g (x+h) -\mp g (x))]} h</math>
|-
|
|<math>=\lim_{h\rightarrow 0} \frac {f(x+h) - f(x)} h -\pm \frac { g (x+h) - g (x)} h</math>
|-
|
|<math>= f'(x) -\pm g'(x)</math>
|}
 
====実数倍の導関数====
 
次に、関数の実数倍の導関数について考える。関数の実数倍をしたものを微分したものは、実数倍する前の関数に対する導関数を実数倍したものになる。具体的には次の式が成り立つ。
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