「高等学校数学II/図形と方程式」の版間の差分

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306 行
点 <math>\mathrm{P}</math> と直線 <math>l</math> に対し、直線 <math>l</math> 上の点と点 <math>\mathrm{P}</math> の距離の最小値を'''点と直線の距離'''という。これは点 <math>\mathrm{P}</math> から直線 <math>l</math> に下ろした垂線 <math>\mathrm{PH}</math> の長さに等しい。
 
直線 <math>ax+by+c=0</math> と点 <math>(x_1x_0,y_1y_0)</math> の距離は
:<math>\frac{|ax_1ax_0+by_1by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}</math>
と表される。
 
'''ベクトルを使った証明'''
*問題例
 
点 <math>\mathrm{P}(x_0,y_0)</math> と直線 <math>l:ax+by+c=0</math> とし、点 <math>\mathrm{Q}(x_1,y_1)</math> を直線 <math>l</math> 上の点とする。直線 <math>l</math> の法線は <math>\vec n := (a,b)</math> で、<math>\vec{\mathrm{QP}} = (x_0-x_1,y_0-y_1) </math> であるので、直線 <math>l</math> 上の点と点 <math>\mathrm{P}</math> の距離 <math>d</math> は <math>d = \left| \vec{ \mathrm{QP} } \cdot \frac{\vec n}{||\vec n||}\right| = \left|(x_0-x_1,y_0-y_1)\cdot \frac{(a,b)}{\sqrt{a^2+b^2}}\right| = \frac{|ax_0 + by_0 - (ax_1 + by_1)|}{\sqrt{a^2+b^2}} = \frac{|ax_0 + by_0 +c|}{\sqrt{a^2+b^2}}</math><ref>点 <math>\mathrm{Q}(x_1,y_1)</math> は直線 <math>l</math> 上の点なので <math>ax_1+by_1=-c</math> である。</ref> である。
**問題
点<math>(2,1)</math>と直線<math>-3x+4y-3=0</math>の距離を求めよ。
 
**解答
 
:<math>l=\frac{|-3 \times 2 + 4 \times 1 -3|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{|-5|}{5}=1</math>
 
==円==