「高等学校数学II/図形と方程式」の版間の差分
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と表される。
'''証明'''
[[ファイル:Point-to-line2.svg|サムネイル]]点 <math>\mathrm{P}(x_0,y_0)</math> と直線 <math>l:ax+by+c=0 \quad a,b\neq 0</math> とする。
点 <math>\mathrm{P}</math> から直線 <math>l</math> に垂線を下ろし、垂線の足を点 <math>R</math> とする。
また、点 <math>\mathrm{P}</math> から <math>y</math> 軸に平行な直線を引き、直線 <math>l</math> との交点を点 <math>\mathrm S</math> とする。
次に、図のように、直線 <math>l</math> 上の点 <math>\mathrm T</math> に対して、直線 <math>\mathrm{TV}</math> が <math>x</math> 軸と平行となり、<math>\mathrm{TV} = |b|</math> となるように点 <math>\mathrm V</math> をとり、直線 <math>\mathrm{VU}</math> が <math>y</math> 軸に平行になる点 <math>\mathrm U</math> を直線 <math>l</math> 上に取る。
直線 <math>l</math> の傾きは <math>-\frac{a}{b}</math> となるので <math>\mathrm{VU} = |a|</math> である。
ここで、<math>\bigtriangleup \mathrm{PRS},\bigtriangleup \mathrm{TVU}</math> は直角三角形であり、<math>\angle \mathrm{PSR} = \angle \mathrm{TUV}</math> なので、<math>\bigtriangleup \mathrm{PRS} \sim \bigtriangleup \mathrm{TVU}</math> である。したがって
:<math>\frac{\mathrm{PR}}{\mathrm{PS}} = \frac{\mathrm{TV}}{\mathrm{TU}}</math>
また点 <math>\mathrm S</math> の座標を<math>(x_0,m)</math> とすると、<math>\mathrm{PS} = |y_0-m| </math> で、点 <math>\mathrm{P}</math> と直線 <math>l</math> の距離 <math> \mathrm{PR}</math> は、
<math> \mathrm{PR} ={\mathrm{PS}}\cdot \frac{\mathrm{TV}}{\mathrm{TU}} = \frac{|y_0 - m||b|}{\sqrt{a^2 + b^2}} </math>
ところで、点 <math>\mathrm S</math> は直線 <math>l</math> 上の点なので、
:<math>m = \frac{-ax_0 - c}{b}</math>
である。これを代入すれば
:<math> \mathrm{PR} = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}</math>
:
'''ベクトルを使った証明'''
318 ⟶ 345行目:
====円の方程式====
半径 <math>\mathrm{C}(a,b)</math> 半径 <math>r</math> の円は、<math>\mathrm{CP} =r</math> となる点 <math>\mathrm{P}</math> の集合である。つまり、 <math>r = \sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}</math> となる点 <math>(x,y)</math> の集合である。この方程式の両辺は正なので2乗して
<math>
(x-a)^2+(y-b)^2 = r^2
</math>
で与えられる。▼
x^2+y^2 = r^2▼
を得る。これが円の方程式である。
特に原点が中心で半径 <math>r</math> の円の方程式は <math>
▲x^2+y^2 = r^2
▲</math> で与えられる。
(i)
中心(2,4),半径3
に対応する式を求めよ。
*
:<math>
(x-a)^2+(y-b)^2 = r^2
362 ⟶ 372行目:
(x-2)^2+(y-4)^2 = 9
</math>
▲となる。
**問題
403 ⟶ 398行目:
y^2+54\,y+x^2+22\,x+848=0
</math>
の中心と半径を求めろ。
854 ⟶ 849行目:
{{DEFAULTSORT:こうとうかつこうすうかくII すけいとほうていしき}}
[[Category:高等学校数学II|すけいとほうていしき]]
<references />
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