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x^2+y^2 = r^2
</math> で与えられる。
*問題
(i)
中心(2,4),半径3
に対応する式を求めよ。
'''演習問題'''
* 解答
:<math>
(x-a)^2+(y-b)^2 = r^2
</math>
を用いればよい。
答は、<br>
(i)
:<math>
(x-2)^2+(y-4)^2 = 9
</math>
**問題
# 中心 <math>(2,4)</math> 半径 <math>3</math> の円の方程式を求めよ
(i)
:# 円 <math>
x^2 + (y-4)^2 = 6
</math>
(ii)
:<math>
(x+3)^2 + (y+7)^2 = 14
</math>
(iii)
:<math>
y^2+2\,y+x^2-6\,x+5=0
</math> の中心と半径を求めよ
</math>
(IV)
:<math>
y^2-22\,y+x^2-10\,x+137=0
</math>
(V)
:<math>
y^2-4\,y+x^2+2\,x-19=0
</math>
(VI)
:<math>
y^2+54\,y+x^2+22\,x+848=0
</math>
の中心と半径を求めろ。
'''解答'''
# <math>
(x-2)^2+(y-4)^2 = 9
**解答
(i),(ii)に関しては、公式と見くらべることで
円の大きさを定めることが出来る。
(iii)以降については、式変形を行なって
:<math>
(x-a)^2+(y-b)^2 = r^2
</math>
# <math>
と比較できる形にする必要がある。
y^2+2\,y+x^2-6\,x+5=0 \iff (x-3)^2 + (y +1)^2 = 5
</math> なので中心 <math>
例えば、(iii)については、
:<math>
y^2+2\,y+x^2-6\,x+10=5
</math>
:<math>
(x-3)^2 -9 + (y +1)^2 -1 +10 = 5
</math>
:<math>
(x-3)^2 + (y +1)^2 = 5
</math>
と変形でき、
中心
:<math>
(3,-1)
</math> 半径 <math>
半径
:<math>
\sqrt 5
</math>
の円に対応することが分かる。
(IV),(V),(VI)も同様にして、左辺を平方完成すればよい。
結果は、<br>
(iii)
:<math>
\left(y+1\right)^2+\left(x-3\right)^2=5
</math>
(IV)
:<math>
\left(y-11\right)^2+\left(x-5\right)^2=9
</math>
(V)
:<math>
\left(y-2\right)^2+\left(x+1\right)^2=24
</math>
(VI)
:<math>
\left(y+27\right)^2+\left(x+11\right)^2=2
</math>
となる。
方程式 <math>x^2+y^2+lx+my+n = 0</math> はいつも円であるとは限らない。
方程式を変形して <math>(x-a)^2+(y-b)^2 = k</math> となるとき
:答
::(i)
中心
<math>
(0,4)
</math>
,半径
<math>
\sqrt 6
</math>
の円
::(ii)
中心
<math>
(-3,-7)
</math>
,半径
<math>
\sqrt {14}
</math>
の円
::(iii)
中心
<math>
(3,-1)
</math>
,半径
<math>
\sqrt {5}
</math>
の円
::(IV)
中心
<math>
(5,11)
</math>
,半径
<math>
3
</math>
の円
::(V)
中心
<math>
(-1,2)
</math>
,半径
<math>
2\sqrt {6}
</math>
の円
::(VI)
中心
<math>
(-11,-27)
</math>
,半径
<math>
\sqrt 2
</math>
の円
# <math>k>0</math> のとき方程式は円を表す
# <math>k=0</math> のとき方程式は1点 <math>(a,b)</math> を表す
方程式 <math>x^2+y^2+lx+my+n = 0</math> はいつも円であるとは限らない。問題を通して確認しよう。
# <math>k<0</math> のとき方程式の左辺は正なので、方程式の表す図形はない
*問題例
**問題
(i)
:<math>
x^2+y^2+2x-6y+10 = 0
</math>
(ii)
:<math>
x^2+y^2-6x+4y+16 = 0
</math>
は、どのような図形を表しているか。
**解答
(i)方程式を変形すると、
:<math>
(x +1)^2 + (y -3)^2 = 0
</math>
となる。
:<math>
a^2 + b^2 = 0 \Leftrightarrow a=0 , b=0
</math>
であるから、この方程式を満たすのは、<math>x=-1 ,\; y=3</math> だけである。
したがってこの方程式が表す図形は、<u>'''点<math>(-1,3)</math>'''</u> となる。
(ii)方程式を変形すると、
:<math>
(x -3)^2 + (y +2)^2 = -3
</math>
となる。
:<math>
a^2 + b^2 \ge 0
</math>
であるから、この方程式が表す図形は<u>'''ない'''</u>。
==== 円の接線 ====
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