「高等学校数学II/三角関数」の版間の差分
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{{Wikiversity|Topic:三角関数|三角関数}}
ここでは三角関数の定義をしたあと、三角関数の基本的な性質、加法定理、三角関数の応用について学ぶ。三角関数は波やベクトルの内積、フーリエ変換などさまざまな分野で応用されている。
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と言う場合もある。
'''演習問題'''
<math>k</math> を0でない実数とする。関数 <math>\sin kx</math> の周期を言え
'''解答'''
<math>\sin k\left(x+\frac{2\pi}{k}\right) = \sin kx</math> なので答えは <math>\frac{2\pi}{k}</math> 。これは正であり、周期の最小性との条件を満たしている。
== 偶関数と奇関数 ==
関数 <math>f(x)</math> が <math>f(-x)=f(x)</math> を満たすとき、関数 <math>f(x)</math> は偶関数という。偶関数は <math>y</math> 軸に関して対象なグラフになる。
また、関数 <math>f(x)</math> が <math>f(-x)=-f(x)</math> を満たすとき、関数 <math>f(x)</math> は奇関数という。偶関数は原点に関して対象なグラフになる。
関数 <math>\cos\theta,x^{2n}</math> (<math>n</math> は整数)は偶関数となる。
;演習問題
tanθは偶関数かそれとも奇関数か調べよ。
:<math> \tan( - \theta ) = \frac{\sin(- \theta)} {\cos(-\theta)} = \frac{- \sin(\theta)} {\cos(\theta)} = - \frac{\sin(\theta)} {\cos(\theta)} = - \tan \theta</math>
なので、 tanθは奇関数である。
== いろいろな三角関数 ==
[[File:Y=sin(theta-pi div 3).svg|thumb|550px|]]
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== 加法定理 ==
三角関数の加法定理
:<math>\begin{align}
\sin (\alpha \pm \beta) &= \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \\
300 ⟶ 280行目:
が成り立つ。
'''証明'''
任意の実数 <math>\alpha,\beta</math> に対し、単位円周上の点 <math>A(\cos\alpha,\sin\alpha),B(\cos\beta,\sin\beta)</math> をとる。このとき、 線分 <math>AB</math> の長さの2乗 <math>AB^2</math> は余弦定理を使うことにより
333 ⟶ 313行目:
\sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta</math><ref>「咲いた(sin)コスモス(cos)コスモス(cos)咲いた(sin)」「コスモス(cos)コスモス(cos)咲いた(sin)咲いた(sin)」という覚えかたがある</ref>
さらに、<math>\tan x</math> についても
<math display="inline">\begin{align}
\tan (\alpha\pm\beta) &= \frac {\sin (\alpha\pm\beta) } {\cos (\alpha\pm\beta) } \\
&= \frac { \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta } { \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta } \\
&= \cfrac { \cfrac { \sin \alpha \cos \beta } { \cos \alpha \cos \beta } \pm \cfrac { \cos \alpha \sin \beta } { \cos \alpha \cos \beta } } { \cfrac { \cos \alpha \cos \beta } { \cos \alpha \cos \beta } \mp \cfrac { \sin \alpha \sin \beta } { \cos \alpha \cos \beta } } \\
&= \frac { \tan \alpha \pm \tan \beta } { 1 \mp \tan \alpha \tan \beta }
\end{align}</math>
が成り立つ。
== 倍角の公式 ==
<math>\sin 2\alpha = \sin(\alpha + \alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha</math>
<math>\cos 2\alpha = \cos(\alpha+\alpha)=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha-1=1-2\sin^2\alpha</math><!-- tan -->
*:
*:これらの最後の2式
*::<math>\begin{align}
\cos 2x &= 2 \cos ^2 x - 1 \\
397 ⟶ 370行目:
*::<math>\sin 15^\circ = \sin 165^\circ = \frac {\sqrt 6 - \sqrt 2 } 4</math>
*:が得られる。
:<math>
457 ⟶ 422行目:
|}
:
==三角関数の合成==
三角関数の和
:<math>
a \sin \theta + b \cos \theta
</math>
において、<math>a,b\neq 0</math> のとき
<math>\left\{\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\right\}^2 + \left\{\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\right\}^2 = 1</math> であるので、点 <math>\left(\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}},\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)</math> は単位円周上の点なので、
:<math>
\begin{cases}
\cos \alpha = \dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\\
\sin \alpha = \dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}
\end{cases}
</math>
となるようなαをとることができ、このαを用いて次のような変形ができる。
:<math>\begin{align}
a \sin \theta + b \cos \theta & = \sqrt{a^2+b^2}\left( \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \sin \theta + \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \cos \theta \right) \\
& = \sqrt{a^2+b^2} \left( \sin \theta \cos \alpha + \cos \theta \sin \alpha \right)\\
& = \sqrt{a^2+b^2} \sin \left( \theta + \alpha \right)\\
\end{align}
</math>
:'''演習問題'''
:<math>\sin \theta - \sqrt{3} \cos \theta</math> を <math>r \sin \left( \theta + \alpha \right)</math> の形に変形せよ。<!-- cos版 -->
:'''解答'''
*::<math>r = \sqrt{1^2 + \left( - \sqrt{3} \right)^2} = 2</math>
*:より
*::<math>\begin{align}
\sin \theta - \sqrt{3} \cos \theta & = 2 \left( \frac{1}{2} \sin \theta - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \theta \right) \\
& = 2 \left( \sin \theta \cos \frac{\pi}{3} - \cos \theta \sin \frac{\pi}{3} \right)\\
& = 2 \sin \left( \theta - \frac{\pi}{3} \right)\\
\end{align}
</math>
== 和積公式と積和公式 ==
三角関数の加法定理を用いると、三角関数の和積公式、および積和公式が得られる。それぞれ
;積和公式
:<math>\begin{align}
501 ⟶ 504行目:
:となり、和積公式の一番上の式が得られる。
:残った和積公式の式も同様に積和公式のそれぞれの式に対し ''x'' → (''x'' +''y'' )/ 2, ''y'' → (''x'' -''y'' )/ 2 と置き換えることで得られる。
== 三角関数の基本公式 ==
615 ⟶ 581行目:
{{コラム|楽器の音と三角関数|音も波の一種なので、三角関数で表現できる。
オシロスコープで おんさ の音を測定すると、正弦波に近い波形が観測される。
632 ⟶ 595行目:
{{コラム|数学者オイラー|
[[File:Leonhard Euler.jpeg|thumb|オイラー（Euler）]]
ここでは、指数関数、三角関数の定義域を実数としていたが、これらの関数の定義域を複素数まで拡張することができる。(興味のある意欲的な読者は複素関数論の書籍を読んでみるといい)
複素数に拡張した指数関数、三角関数では <math>e^{i\theta} =\cos\theta+i\sin\theta</math>
という関係式が成り立つ。ここで、 <math>\theta</math> に <math>\pi</math> を代入すると
<math>e^{i\pi}+1=0</math>となる。この等式は「世界一美しい等式」とも呼ばれ、小説にもなっているので知っている人もいるだろう。
}}
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