「高等学校数学II/図形と方程式」の版間の差分
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M →円と直線 |
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188 行
直線 <math>l</math> の傾きは <math>-\frac{a}{b}</math> となるので <math>\mathrm{VU} = |a|</math> である。
ここで、<math>\bigtriangleup \mathrm{PRS},\bigtriangleup \mathrm{TVU}</math> は直角三角形であり、<math>\angle \mathrm{PSR} = \angle \mathrm{TUV}</math><ref>直線 <math>\mathrm{PS}</math> と直線 <math>\mathrm{VU}</math> は平行なので</ref> なので、<math>\bigtriangleup \mathrm{PRS} \sim \bigtriangleup \mathrm{TVU}</math><ref><math>\sim</math> は相似を意味する</ref> である。したがって
:<math>\frac{\mathrm{PR}}{\mathrm{PS}} = \frac{\mathrm{TV}}{\mathrm{TU}}</math>
206 行
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'''ベクトルを使った証明'''
すでにベクトルを知っているならばこちらの方が簡潔である。
点 <math>\mathrm{P}(x_0,y_0)</math> と直線 <math>l:ax+by+c=0</math> とし、点 <math>\mathrm{Q}(x_1,y_1)</math> を直線 <math>l</math> 上の点とする。直線 <math>l</math> の法線は <math>\vec n := (a,b)</math> で、<math>\vec{\mathrm{QP}} = (x_0-x_1,y_0-y_1) </math> であるので、直線 <math>l</math> 上の点と点 <math>\mathrm{P}</math> の距離 <math>d</math> は <math>d = \left| \vec{ \mathrm{QP} } \cdot \frac{\vec n}{||\vec n||}\right| = \left|(x_0-x_1,y_0-y_1)\cdot \frac{(a,b)}{\sqrt{a^2+b^2}}\right| = \frac{|ax_0 + by_0 - (ax_1 + by_1)|}{\sqrt{a^2+b^2}} = \frac{|ax_0 + by_0 +c|}{\sqrt{a^2+b^2}}</math><ref>点 <math>\mathrm{Q}(x_1,y_1)</math> は直線 <math>l</math> 上の点なので <math>ax_1+by_1=-c</math> である。</ref> である。
'''演習問題'''
直線 <math>x-2y-3=0</math> と点 <math>(1,2)</math> の距離を求めよ
'''解答'''
<math>-\frac{6}{\sqrt 5}</math>
==円==
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