「高等学校数学II/微分・積分の考え」の版間の差分
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</math>の右辺<math>F(x) + C</math>は、<math>F(x)</math>に定数を足した関数の全体を表している。つまり、<math>F(x) + C</math>は、<math>F(x)+1</math>や、<math>F(x)-23</math>や、<math>F(x)-5\pi</math>などの、<math>F(x)</math>に定数を足した関数すべてをまとめて<math>F(x)+C</math>と表している。このことがあやふやになっていると、'''重大な間違い'''を起こす可能性があるので、注意が必要である。
関数 <math>f(x)=x^n</math> (ただし <math>n</math> は自然数)の不定積分を求めてみる。やや天下り的だが、<math>F(x) = \frac{1}{n+1}x^{n+1}+C</math> (<math>C</math> は任意の定数)とおくと、 <math>F'(x) = x^n</math> となるので、 <math>\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C</math> は原始関数であることがわかる。
したがって <math>\int x^n dx =\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C </math>
関数 <math>f(x),g(x)</math> の原始関数をそれぞれ、 <math>F(x),G(x)</math> とする。<math>a</math> を任意の実数定数とすると
<math>\{F(x)+G(x)\}'=F'(x)+G'(x)=f(x)+g(x)</math>
<math>\{aF(x)\}' = aF'(x)=af(x)</math>
が成り立つことを考えると、▼
<math>\int \{ f(x) + g(x) \} dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx ,</math> <math>\int af(x) dx = a \int f(x) dx</math>
'''演習問題'''
不定積分 <math>\int (x^8+2x^2-6x+9)dx</math> を求めよ
▲となり、
== 定積分 ==
321 ⟶ 307行目:
<math>\frac{1}{4}x^4+1</math>も、微分すると、<math>x^3</math>なので、<math>\frac{1}{4}x^4+1
</math>は<math>x^3</math>の原始関数の一つである。よって、<math>\int_2^5x^3dx = \left[\frac{1}{4}x^4+1\right]_2^5 = \left(\frac{1}{4}5^4 + 1\right) - \left(\frac{1}{4}2^4 + 1\right) = \frac{609}{4}</math>と求めることもできる。
== 微分積分学の基本定理 ==
353 ⟶ 314行目:
:<math>\int_a^x f(t)\,dt=F(x)-F(a)</math>
この両辺をxで微分すると、<math>F(a)</math>は定数であるから
:<math>\frac{d}{dx} \int_a^x f(t)\,dt=\frac{d}{dx} F(x) = f(x)</math><!-- この微分積分学の基本定理は「積分した関数を微分すると元の関数に戻る」ということを主張している。つまり、微分と積分は逆の演算であるということである。そもそも我々は不定積分を「微分したら元の関数になる関数」と定義していたのであった。定義からこの定理が成り立つのは当然のように思え、基本定理なんて仰々しいが名前つけられることに疑問を感じる人もいるかも知れない。後述するが、積分は面積を求めることと密接な -->
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