「高等学校数学II/三角関数」の版間の差分

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51 行
S&=\frac{1}{2}r^{2}\theta=\frac{1}{2}rl\end{align}</math>
と表せる。
 
=== 象限 ===
[[File:Quadrant japanese.svg|thumb|300px]]
 
xy座標で第1象限(しょうげん)から第4象限までの位置を、図のように定義する。
 
位置と象限の番号の対応の覚え方は、x軸の正方向を基準に、反時計周り(左回り)に番号が大きくなっていくと覚えればいい。
 
[[File:Quadrant and xy.svg|thumb|left|300px]]
それぞれの象限と、X、Yの値との関係は、左図のとおり。
{{-}}
----
一般角をつくる動径OPが原点Oのまわりを回転をする場合、一般角とそれぞれの象限の位置関係の例は、図のようになる。
[[File:Quadrant and general angle japanese.svg|thumb|300px]]
 
{{-}}
 
=== 公式 ===
179 ⟶ 163行目:
 
== 偶関数と奇関数 ==
関数 <math>f(x)</math> が <math>f(-x)=f(x)</math> を満たすとき、関数 <math>f(x)</math> は偶関数という。偶関数は <math>y</math> 軸に関して対なグラフになる。
 
また、関数 <math>f(x)</math> が <math>f(-x)=-f(x)</math> を満たすとき、関数 <math>f(x)</math> は奇関数という。偶関数は原点に関して対象なグラフになる。
188 ⟶ 172行目:
 
;演習問題
tanθ<math>\tan\theta</math> は偶関数かそれとも奇関数か調べよ。
 
'''解答'''
194 ⟶ 178行目:
:<math> \tan( - \theta ) = \frac{\sin(- \theta)} {\cos(-\theta)} = \frac{- \sin(\theta)} {\cos(\theta)} = - \frac{\sin(\theta)} {\cos(\theta)} = - \tan \theta</math>
 
なので、 <math>\tan\theta</math> は奇関数である。<ref>一般に、関数 <math>f(x) </math> に対し、<math>f(x) </math> が偶関数か奇関数か調べるには <math>f(-x)</math> が <math>f(x)</math> または <math>-f(x)</math> のどちらに等しいか調べればよい。また、どちらとも等しくない場合、関数 <math>f(x) </math> は偶関数でも奇関数でもない。</ref>
なので、 tanθは奇関数である。
 
== いろいろな三角関数 ==
[[File:Y=sin(theta-pi div 3).svg|thumb|550px|]]
308 ⟶ 293行目:
|style="padding:5px"|
:<math>\begin{align}
\sin (\alpha +\pm \beta) &= \sin \alpha \cos \beta +\pm \cos \alpha \sin \beta \\
\sincos (\alpha -\pm \beta) &= \sincos \alpha \cos \beta - \mp \cossin \alpha \sin \beta \\
\costan (\alpha +\pm \beta) &= \cosfrac { \tan \alpha \cospm \tan \beta -} { 1 \sinmp \tan \alpha \sintan \beta } \\
\cos (\alpha - \beta) &= \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta\\
\tan (\alpha + \beta) &= \frac { \tan \alpha + \tan \beta } { 1 - \tan \alpha \tan \beta } \\
\tan (\alpha - \beta) &= \frac { \tan \alpha - \tan \beta } { 1 + \tan \alpha \tan \beta }
\end{align}</math>
|}
329 ⟶ 311行目:
 
{| style="border:2px solid skyblue;width:80%" cellspacing=0
|style="background:skyblue"|'''半関数公式'''2乗
|-
|style="padding:5px"|
:<math>\begin{align}
\sin ^2 \frac { \alpha } { 2 } &= \frac {1 - \cos 2\alpha }2 \\
\cos ^2 \frac { \alpha } { 2 } &= \frac {1 + \cos 2\alpha }2 \\
\tan ^2 \frac { \alpha } { 2 } &= \frac {1 - \cos 2\alpha } {1 + \cos 2\alpha }
\end{align}</math>
|}
'''覚え方'''
 
加法定理は「咲いたコスモスコスモス咲いた」、「コスモスコスモス咲いた咲いた」という語呂合せがあります。
:
 
<math>\cos</math> の倍角の公式 <math>\cos 2\theta = 2\cos^2\theta - 1 = 1 - 2\sin^2\theta</math> は <math>\pm 1 \pm 2\mathrm{aaa}^2\theta</math> という形を覚えて <math>\sin</math> は符号が <math>-</math>、1 の符号はその逆と覚えます。
 
2乗の三角関数 <math>\sin^2\theta = \frac{1-\cos 2\theta}{2},\cos^2\theta = \frac{1+\cos 2\theta}{2}</math> は、<math>\frac{1\pm \cos 2\theta}{2}</math> という形を覚えて、 <math>\sin</math> は符号が<math>-</math> と考えます。
 
==三角関数の合成==
365 ⟶ 352行目:
 
'''演習問題'''
 
<math>r,\alpha</math> は <math>r>0,-\pi\le \alpha< \pi</math> を満たすとする。
 
# <math>\sin \theta - \sqrt{3} \cos \theta</math> を <math>r \sin \left( \theta + \alpha \right)</math> の形に変形せよ。
# <math>2\cos\theta-2\sin\theta</math> を <math>r\cos(\theta+\alpha)</math> の形に変形せよ。ただし <math>r>0,-\pi\le \alpha< \pi</math>
 
'''解答'''
514 ⟶ 503行目:
 
 
{{コラム|数学者レオンハルト・オイラー|
[[File:Leonhard EulerLeonhard_Euler_2.jpegjpg|thumb| レオンハルト・オイラー(Euler)(Leonhard Euler 1707年4月15日 - 1783年9月18日)]]
ここでは、指数関数、三角関数の定義域を実数としていたが、これらの関数の定義域を複素数まで拡張することができる。(興味のある意欲的な読者は複素関数論の書籍を読んでみるといい)
複素数に拡張した指数関数、三角関数では <math>e^{i\theta} =\cos\theta+i\sin\theta</math>
521 ⟶ 510行目:
<math>e^{i\pi}+1=0</math>となる。この等式は「世界一美しい等式」とも呼ばれ、小説にもなっているので知っている人もいるだろう。
}}
 
{{-}}
 
== 演習問題 ==