「高等学校数学II/三角関数」の版間の差分
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と表せる。
==== sinと cos のグラフ ====
[[File:Sin and cos general angle introduction.svg|thumb|300px|]]
一般角が <math>\theta</math> の半直線と単位円が交わる円を <math>\mathrm P</math> とする。このときの <math>\mathrm P</math> の座標を<math>(\cos\theta,\sin\theta)</math> とすることで、関数 <math>\sin,\cos</math> を定める。また、<math>\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}</math> とすることで関数 <math>\tan\theta</math> を定める。<math>\tan\theta</math> は一般角が <math>\theta</math> の動径の傾きに等しい。
* <math>\sin</math> はサイン(sine) と発音され、正弦とも呼ばれる。
* <math>\cos</math> コサイン(cosine) と発音され、余弦とも呼ばれる。
* <math>\tan</math> はタンジェント(tangent) と発音され、正接とも呼ばれる。
[[ファイル:Circle cos sin.gif|サムネイル]]
[[File:Y=sin(theta).svg|thumb|500px|left]]
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y= cos θ や y= sin θ の形をした曲線のことを '''正弦曲線''' (せいげんきょくせん)という。
関数 <math>\sin,\cos</math> の定義域はどちらも、<math>[-1,1]</math> である。{{-}}
==== tan のグラフ ====
[[File:Tangent function introduction.svg|thumb|300px|]]
147 ⟶ 102行目:
はy=tanθのグラフの漸近線である。
== 三角関数の性質 ==
: <math>\begin{align}
\sin(\theta + \pi) &= - \sin \theta \\
\cos(\theta + \pi) &= - \cos \theta \\
\tan(\theta + \pi) &= \tan \theta
\end{align}</math>
が成り立つ。実際、180°足されたときPは、Q(-x, -y) に移動し、Q を表す角が''a'' + 180°で表されるからである。
* 問題例
** 問題
* ::<math>\begin{align}
& \sin(\theta + \frac{\pi}{2}) \\
& \cos(\theta + \frac{\pi}{2}) \\
& \sin(\frac{\pi}{2} -\theta) \\
& \cos(\frac{\pi}{2}- \theta )
\end{align}</math>
*: を計算せよ。
** 解答
*: 角θに対応する点を P(x, y) とする。このとき、角 θ + 90°に対応する点を P'(x', y') とすると、この点の座標は、P'(-y, x) に対応する。このことから、P'について sin, cos を計算すると、
*:: <math>\begin{align}
x' &= -y \\
&= \cos (\theta + \frac{\pi}{2} )\\
&= -\sin\theta \\
y' &= x \\
&= \sin (\theta + \frac{\pi}{2} ) \\
&= \cos\theta
\end{align}</math>
*: が得られる。
*: 同様にして、90°- θ に対応する点を P' '(x' ', y' ') とすると、
*:: <math>\begin{align}
x'' &= y \\
y'' &= x
\end{align}</math>
*: となる。よって、
*:: <math>\begin{align}
\sin (\frac{\pi}{2} - \theta) &= \cos\theta \\
\cos (\frac{\pi}{2} - \theta) &= \sin\theta
\end{align}</math>
*: が得られる。
== 周期関数 ==
関数 <math>f(x)</math> に対して、0 でない実数 <math>p</math> が存在して、<math>f(x+p) =f(x)</math> となるとき関数 <math>f(x)</math> は周期関数という。実数 <math>p</math> が上の性質を満たすとき、<math>-p,2p</math> など、実数 <math>p</math> を0を除く整数倍した数も上の性質を満たす。そこで、周期関数を特徴づける量として、上の性質を満たす実数 <math>p</math> の内、正でかつ最小のものを選び、これを'''周期'''と呼ぶ。
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