「高等学校数学II/三角関数」の版間の差分

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52 行
と表せる。
 
=== 公式三角関数 ===
==== sinと cos のグラフ ====
 
<!-- :単位円を書きこんだ図-->
このとき、
:<math>\begin{align}
\sin(\theta + 180^{\circ}) &= - \sin \theta \\
\cos(\theta + 180^{\circ}) &= - \cos \theta \\
\tan(\theta + 180^{\circ}) &= \tan \theta
\end{align}</math>
が成り立つ。実際、180&deg;足されたときPは、Q(-x, -y) に移動し、Q を表す角が''a'' + 180&deg;で表されるからである。
 
* 問題例
** 問題
* ::<math>\begin{align}
& \sin(\theta + 90^\circ) \\
& \cos(\theta + 90^\circ) \\
& \sin(90^\circ -\theta) \\
& \cos(90^\circ- \theta )
\end{align}</math>
*:を計算せよ。
**解答
*:角&theta;に対応する点を P(x, y) とする。このとき、角 &theta; + 90&deg;に対応する点を P'(x', y') とすると、この点の座標は、P'(-y, x) に対応する。このことから、P'について sin, cos を計算すると、
*::<math>\begin{align}
x' &= -y \\
&= \cos (\theta + 90^\circ )\\
&= -\sin\theta \\
y' &= x \\
&= \sin (\theta + 90^\circ ) \\
&= \cos\theta
\end{align}</math>
*:が得られる。
*:同様にして、90&deg;- &theta; に対応する点を P' '(x' ', y' ') とすると、
*::<math>\begin{align}
x'' &= y \\
y'' &= x
\end{align}</math>
*:となる。よって、
*::<math>\begin{align}
\sin (90^\circ - \theta) &= \cos\theta \\
\cos (90^\circ - \theta) &= \sin\theta
\end{align}</math>
*:が得られる。
 
== 三角関数のグラフ ==
==== sin と cos のグラフ ====
[[File:Sin and cos general angle introduction.svg|thumb|300px|]]
 
一般角が <math>\theta</math> の半直線と単位円が交わる円を <math>\mathrm P</math> とする。このときの <math>\mathrm P</math> の座標を<math>(\cos\theta,\sin\theta)</math> とすることで、関数 <math>\sin,\cos</math> を定める。また、<math>\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}</math> とすることで関数 <math>\tan\theta</math> を定める。<math>\tan\theta</math> は一般角が <math>\theta</math> の動径の傾きに等しい。
角θの動径と単位円との交点を P(x,y) とすると、右の図のように
 
:sinθ=y、  cosθ=x
* <math>\sin</math> はサイン(sine) と発音され、正弦とも呼ばれる。
となる。
* <math>\cos</math> コサイン(cosine) と発音され、余弦とも呼ばれる。
* <math>\tan</math> はタンジェント(tangent) と発音され、正接とも呼ばれる。
 
このことを利用して関数
::y=sinθ、 および y=cosθ
[[ファイル:Circle cos sin.gif|サムネイル]]
のグラフを書くことができる。
 
[[File:Y=sin(theta).svg|thumb|500px|left]]
115 ⟶ 71行目:
 
y= cos θ や y= sin θ の形をした曲線のことを '''正弦曲線''' (せいげんきょくせん)という。
{{-}}
----
 
関数 <math>\sin,\cos</math> の定義域はどちらも、<math>[-1,1]</math> である。{{-}}
==== tan のグラフ ====
[[File:Tangent function introduction.svg|thumb|300px|]]
147 ⟶ 102行目:
はy=tanθのグラフの漸近線である。
 
== 三角関数の性質 ==
{{-}}
 
: <math>\begin{align}
\sin(\theta + \pi) &= - \sin \theta \\
\cos(\theta + \pi) &= - \cos \theta \\
\tan(\theta + \pi) &= \tan \theta
\end{align}</math>
 
が成り立つ。実際、180&#xB0;足されたときPは、Q(-x, -y) に移動し、Q を表す角が''a'' + 180&#xB0;で表されるからである。
 
* 問題例
** 問題
* ::<math>\begin{align}
& \sin(\theta + \frac{\pi}{2}) \\
& \cos(\theta + \frac{\pi}{2}) \\
& \sin(\frac{\pi}{2} -\theta) \\
& \cos(\frac{\pi}{2}- \theta )
\end{align}</math>
*: を計算せよ。
** 解答
*: 角&#x3B8;に対応する点を P(x, y) とする。このとき、角 &#x3B8; + 90&#xB0;に対応する点を P'(x', y') とすると、この点の座標は、P'(-y, x) に対応する。このことから、P'について sin, cos を計算すると、
*:: <math>\begin{align}
x' &= -y \\
&= \cos (\theta + \frac{\pi}{2} )\\
&= -\sin\theta \\
y' &= x \\
&= \sin (\theta + \frac{\pi}{2} ) \\
&= \cos\theta
\end{align}</math>
*: が得られる。
*: 同様にして、90&#xB0;- &#x3B8; に対応する点を P' '(x' ', y' ') とすると、
*:: <math>\begin{align}
x'' &= y \\
y'' &= x
\end{align}</math>
*: となる。よって、
*:: <math>\begin{align}
\sin (\frac{\pi}{2} - \theta) &= \cos\theta \\
\cos (\frac{\pi}{2} - \theta) &= \sin\theta
\end{align}</math>
*: が得られる。
 
== 周期関数 ==
関数 <math>f(x)</math> に対して、0 でない実数 <math>p</math> が存在して、<math>f(x+p) =f(x)</math> となるとき関数 <math>f(x)</math> は周期関数という。実数 <math>p</math> が上の性質を満たすとき、<math>-p,2p</math> など、実数 <math>p</math> を0を除く整数倍した数も上の性質を満たす。そこで、周期関数を特徴づける量として、上の性質を満たす実数 <math>p</math> の内、正でかつ最小のものを選び、これを'''周期'''と呼ぶ。