「高等学校数学II/三角関数」の版間の差分
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# <math>2\cos\theta-2\sin\theta=2\sqrt 2\left(\frac{1}{\sqrt 2}\cos\theta-\frac{1}{\sqrt 2}\sin\theta\right)</math> <ref>こう変形することで、点 <math>\left(\frac{1}{\sqrt2},\frac{1}{\sqrt2}\right)</math> が単位演習上の点になる</ref>ここで、<math>r\cos(\theta+\alpha) = r(\cos\theta\cos\alpha-\sin\theta\sin\alpha)</math> である。 <math>\cos\alpha=\frac{1}{\sqrt 2},\sin\alpha = \frac{1}{\sqrt 2}</math> となる <math>\alpha</math> として <math>\alpha = \frac{\pi}{4}</math> がある。<ref>ここで、 <math>\alpha</math> は問題文の制約を満たすように選ぶ。 <math>\alpha</math> に <math>2\pi</math> の整数倍を足した <math>\alpha + 2\pi n</math> を選んでも三角関数の合成はできるが、実用的にも <math>\alpha</math> は簡単なものを選んだ方がいいだろう。</ref>したがって、<math>2\cos\theta-2\sin\theta=2\sqrt 2\cos\left(\theta + \frac{\pi}{4}\right)</math>
== 和から積への公式と積から和への公式 ==
三角関数の加法定理を用いると、三角関数の和→積の公式、および積→和の公式が得られる。それぞれ
;積→和の公式
:<math>\begin{align}
\sin
\cos
\cos
\sin
\end{align}</math>
;和→積の公式
:<math>\begin{align}
\sin
\sin
\cos
\cos
\end{align}</math>
となる。
;導出
加法定理
:{{式番号|<math>\sin(\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta</math>|(1)}}
::<math>\begin{align}▼
:{{式番号|<math>\sin(\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta</math>|(2)}}
:{{式番号|<math>\cos(\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta </math>|(4)}}
から、 [[高等学校数学II/三角関数#(1)|(1)]] + [[高等学校数学II/三角関数#(2)|(2)]] より
[[高等学校数学II/三角関数#(1)|(1)]] - [[高等学校数学II/三角関数#(2)|(2)]] より
:<math>\cos \alpha \sin \beta = \frac 1 2 (\sin (\alpha+\beta) - \sin (\alpha-\beta) </math>
[[高等学校数学II/三角関数#(3)|(3)]] + [[高等学校数学II/三角関数#(4)|(4)]] より
:<math>\cos \alpha \cos \beta = \frac 1 2 (\cos (\alpha+\beta) + \cos (\alpha-\beta) )</math>
[[高等学校数学II/三角関数#(3)|(3)]] - [[高等学校数学II/三角関数#(4)|(4)]] より
:<math>\sin \alpha \sin \beta = -\frac 1 2 (\cos (\alpha+\beta) - \cos (\alpha-\beta) )</math>
が得られる。
<math>A = \alpha + \beta,\, B = \alpha-\beta</math> とおくと、 <math>\alpha = \frac{A+B}{2},\, \beta = \frac{A-B}{2}</math> である。これを積→和の公式に代入すれば、それぞれ
\cos A + \cos B &= 2 \cos (\frac {A+B}2 ) \cos (\frac {A-B}2 )\\
\cos A - \cos B &= -2 \sin (\frac {A+B}2 ) \sin (\frac {A-B}2 )
\end{align}</math>
▲\sin x \cos y = \frac 1 2 (\sin (x+y) + \sin (x-y))
▲\sin (\frac { x+y} 2 ) \cos (\frac { x-y} 2 )
▲= 2 \sin (\frac { x+y} 2 ) \cos (\frac { x-y} 2 )
== 三角関数の基本公式 ==
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