「集合論」の版間の差分
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集合に属している物のことを'''元''' （element）と呼ぶ。先ほどの例から、「標高8500m以上の山」という集合では、「エベレスト、K2、カンチェンジュンガ、ローツェの4つの元がある」などと言う。「正の奇数すべて」の集合は、「1,3,5,...という無限個の元から成っている」と言える。元が集合に属していることを「<math>\in</math>」という記号で表す。例えば、自然数の全体という集合を<math>\mathbb{N}</math>とすると、<math>1 \in \mathbb{N}</math>と書ける。
なお、元が1つもない集合も集合とみなすことにする。そのような集合を'''空集合''' （empty set、null set）と呼び、<math>\
== 記法と演算 ==
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'''例'''<br />
<math>\mathcal{P}(\{ 1,2,3 \} ) = \{\
この例を見てもわかるように、有限個の元から成る集合（厳密な定義は後の節を参照）Xの冪集合<math>\mathcal{P}(X)</math>の元の個数は、Xの元の個数の2の冪である（この例でいえば、2<sup>3</sup>=8個）ので、<math>\mathcal{P}(X)</math>のことを<math>2^X</math>と書くこともある。
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すなわちC(a)とは、同値関係～によってaと同値な元全体の集合である。これを～に関するaの'''同値類''' （equivalent class）と呼ぶ。このように定めると、次の性質が成り立つことが容易にわかる。
# <math> C(a)=C(b) \Leftrightarrow a \sim b</math>
# <math> C(a) \neq C(b) \Rightarrow C(a) \cap C(b) = \
;証明
# <math>\Rightarrow :</math> <math>a \in C(a)</math>なので<math>a \in C(b)</math>よって<math>a \sim b</math>
#:<math> \Leftarrow :</math><math>x \sim a </math> なら <math>x \sim b</math> なので <math>C(a) \subset C(b)</math> 同様に <math> C(b) \subset C(a)</math>
# 対偶 <math> C(a) \cap C(b) \neq \
この2番目の性質は、同値関係が与えられると、元の集合Aは、互いに交わらない部分集合族によって分割（直和分解）されることを表している。この、Aを分割する部分集合族のことを、Aを同値関係～で割った'''商集合''' （quotient set）といい、A/～と書く。集合の言葉できちんと書くと下のようになる。
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=== 用語 ===
集合族<math>\{ A_{\lambda} \}_{\lambda \in \Lambda}</math>を構成するすべての集合<math>A_{\lambda}</math>の合併をとった集合<math>\{ x | \exists \lambda \in \Lambda , x \in A_{\lambda} \}</math>を'''和集合'''といい、<math>\bigcup_{\lambda \in \Lambda} A_{\lambda}</math>と表す。特に<math>i,j \in \Lambda, i \ne j \Rightarrow A_i \cap A_j = \
集合族<math>\{ A_{\lambda} \}_{\lambda \in \Lambda}</math>を構成するすべての集合に含まれている元の集合<math>\{ x | \forall \lambda \in \Lambda , x \in A_{\lambda} \}</math>を'''共通部分'''といい、<math>\bigcap_{\lambda \in \Lambda} A_{\lambda}</math>と表す。
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これまで「有限」という言葉をナイーブに未定義のままで使ってきたが、ここできちんと定義しておく。
'''定義''' <math>[n]=\{1,2,...,n\}</math>とする。特に<math>[0]=\
これまでナイーブに想像していた概念と一致することを確認してほしい。有限集合でない集合のことを無限集合（infinite set）という。
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