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定数 <math>a\neq 0</math> と、定数 <math>b</math>, <math>c</math>を用いて
: <math>y=ax^2+bx+c</math>
と <math>x</math> の二次式で表す事ができる関数を変数 <math>x</math> の'''2次関数'''という。
: <math>y=0x^2+4x+1</math>
と表記することもできる。しかし、これは <math>x</math> 二次式ではないので
そのために、2次関数の定義において'''<math>a\neq 0</math>でなければならない'''というルールを設けたのである。
:[[Image:Qfunction.png|thumb|250px|図1 (y=x<sup>2</sup>のグラフ)]]
<math>a>0</math> のとき
{{-}}
したがって(2) 2''x<sup>2</sup>''+4 のグラフは、 (1) 2x''<sup>2</sup>'' のグラフをy軸方向に4だけ平行移動した放物線であり、
:軸がy軸
:頂点が 点(0, 4)
の放物線である。
{| style="border:2px solid pink;width:80%" cellspacing=0
|style="background:pink"|
|-
|style="padding:5px"|
y＝2(''x''-3)<sup>2</sup> のグラフは、 2x''<sup>2</sup>'' のグラフをx軸方向に3だけ平行移動した放物線であり、
:軸は 直線 x＝3
:頂点は 点(3, 0)
の放物線である。
{| style="border:2px solid pink;width:80%" cellspacing=0
|style="background:pink"|
|-
|style="padding:5px"|
よって、
:軸は直線 x＝3
:頂点は 点(3, 4)
である。
{| style="border:2px solid pink;width:80%" cellspacing=0
|style="background:pink"|
|-
|style="padding:5px"|
==== 一般形と標準形 ====
本節では
先ほど現れた
: <math>y=ax^2+bx+c</math>
という形の式 (<math>a\neq 0</math>) を'''2次関数の一般形'''といい、
: <math>y=a(x-p)^2+q</math>
という式を'''
（上で、<math>a\neq 0</math>、<math>b</math>、<math>c</math>、<math>p</math>、<math>q</math>は定数で、<math>x</math>は変数であるものとする。）
|style="padding:5px"|
;定理
:
|}
標準形
: <math>y=a(x-p)^2+q</math>
で表記されている
: <math>y= ax^2 -2apx + (ap^2+q)</math>
逆に一般形
: <math>y=ax^2+bx+c</math>
で表記されている2次関数は以下の手順で標準形に変換できる（この変形手法を'''平方完成'''という）。
ここで、
:<math>
</math>
とおくと、
:<math>
</math>
となり標準形で表されたことになる。
一般の2次関数をグラフで表現してみよう。 前述のように2次関数は平方完成の手順を踏む事により必ず標準形で表記可能なので、2次関数<math>y=ax^2+bx+c</math>を標準形
:<math>
</math>
に変換する。ここで、
:<math>
</math>
{| style="border:2px solid pink;width:80%" cellspacing=0
|style="background:pink"|'''
|-
|style="padding:5px"|
;定理
:
|}
{{コラム|グラフの平行移動|
2次関数にかぎらず、一般に関数 y＝f(x) のグラフをy軸の正の方向に q だけ平行移動したグラフは、
:関数 '''y ＝ f(x) ＋q'''
のグラフになる。
また、関数 y＝f(x) のグラフをx軸の正の方向に p だけ平行移動したグラフは、
:関数 '''y ＝ f(x－p)'''
のグラフになる。
{{コラム|グラフの対称移動|
2次関数にかぎらず、一般に関数 y＝f(x) のグラフをx軸に関して対称に移動したグラフは、
:関数 '''y ＝ －f(x)'''
のグラフになる。
また、関数 y＝f(x) のグラフをy軸に関して対称に移動したグラフは、
:関数 '''y ＝ f(－x)'''
のグラフになる。
よって、関数 y＝f(x) のグラフを原点に関して対称に移動したグラフは、
:関数 '''y ＝ － f(－x)'''
のグラフになる。
;解
::<math>\begin{matrix}
\end{matrix}</math>[[画像:二次関数-例題1.png]]
:ゆえに、求めるグラフは軸 <math>x=-3</math>、頂点 <math>(-3,-4)</math> の下に凸な放物線である。
;解
::<math>\begin{matrix}
\end{matrix}</math>
:であるので、<math>y=4x^2</math> のグラフを <math>x</math> 軸方向に <math>-\frac{5}{2}</math>、<math>y</math> 軸方向に -21 移動させたものである。
よって、共有点の座標は
:<math>
</math>
(ii) 2次方程式<math>-4x^2-4x-1=0</math>を解くと
よって、共有点の座標は
:<math>
</math>
{| class="wikitable"
|+
! Dの符号 !! D>0 !! D=0 !! D<0
|-
! a ＞ 0 のとき
(i) 求める共有点の座標は、連立方程式
:<math>\begin{cases}
\end{cases}</math>
の実数の解である。<math>y=x+1</math> を <math>y=x^2-4x+5</math> に代入すると
よって、共有点の座標は
:<math>
</math>
である。<br>
(ii) 求める共有点の座標は、連立方程式
:<math>\begin{cases}
\end{cases}</math>
の実数の解である。<math>y=2x-4</math> を <math>y=x^2-4x+5</math> に代入すると
よって、共有点の座標は
:<math>
</math>
である。
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