「高等学校数学II/式と証明・高次方程式」の版間の差分
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12 行
"n個の(a+b)の中からいくつのa(またはb)を選ぶか"で決めることが出来る。
(かけ算なのでaかbのどちらかを必ず選ばなくてはならないことに注意。)
しかし、この仕方の数は、aについてr次の項では<math> {}
よって、次の式が得られる。
:<math>(a+b)^n = \sum _{r = 0}^n {}
:<math> = \sum _{r = 0}^n {}
ここで、
:<math>\sum _{r= 0 } ^n</math>
73 行
二項定理
:<math>(a+b)^n = \sum _{r = 0}^n {}
を用いてすべての自然数nに対して
(I)
:<math>2^n = \sum _{k=0} ^n
(II)
:<math>3^n = \sum _{k=0} ^n 2^k
(III)
:<math>0 = \sum _{k=0} ^n (-1)^k
が成り立つことを示せ。
** 解答
二項定理
:<math>(a+b)^n = \sum _{k = 0}^n {}
についてa,bに適当な値を代入すればよい。
(I)
a = 1,b=1を代入すると、
:<math>(1+1)^n = \sum _{k = 0}^n {}
:<math>2^n = \sum _{k = 0}^n {}
となり確かに与えられた関係が成立することが分かる。
(II)
a=2,b=1を代入すると、
:<math>(1+2)^n = \sum _{k = 0}^n {}
:<math>3^n = \sum _{k = 0}^n {}
となり確かに与えられた関係が成立することが分かる。
(III)
a=1,b=-1を代入すると、
:<math>(1-1)^n = \sum _{k = 0}^n {}
:<math>0 = \sum _{k = 0}^n {}
となり確かに与えられた関係が成立することが分かる。
132 行
の右辺でxについて2次の項が現われ左辺と一致しなくなる。よって商は実数である。商をa、余りをrとすると上の式は、
:<math>
x+1 = ax + r
</math>
となるが、これはa=1,r=1で成立する。よって商1,余り1である。より高次の式に対しても同じ様に答えを定めていけばよい。例として、
185 行
(I)
:<math>
</math>
(II)
:<math>
</math>
(III)
:<math>
</math>
(IV)
:<math>
</math>
を計算せよ。
234 行
(I)
:<math>
\left[ x^2+7\,x+31,168\,x+30 \right]
</math>
(II)
:<math>
\left[ 3\,x^2+2\,x+19,67\,x+75 \right]
</math>
(III)
:<math>
\left[ 2\,x^3-11\,x^2+78\,x-589,4437\,x-2357 \right]
</math>
(IV)
:<math>
\left[ 2\,x^2-5\,x-1,48\,x^2-11\,x-5 \right]
</math>
が得られる。
266 行
を簡単にせよ。また、
:<math>
\frac {x+1}{x^2 +2x + 3}
+ \frac {2x + 5} {x^2 +1}
</math>
295 行
次の問題では、
:<math>
\frac {x+1}{x^2 +2x + 3}
+ \frac {2x + 5} {x^2 +1}
</math>
308 行
今回については、単純にそれぞれの分数式の分子と分母に各々の分母をかけて分母を統一すればよい。計算すると、
:<math>
\frac {x+1}{x^2 +2x + 3}
+ \frac {2x + 5} {x^2 +1}
</math>
:<math>
= \frac{(x+1)(x^2+1)}{(x^2 +2x + 3)(x^2+1)}
+\frac{(x^2 +2x + 3)(2x + 5)}{(x^2 +2x + 3)(x^2+1)}
</math>
:<math>
= \frac{(x+1)(x^2+1)+(x^2 +2x + 3)(2x + 5)}
{(x^2 +2x + 3)(x^2+1)}
</math>
:<math>
= \frac {3x^3 +10x^2 + 17 x + 16}
{(x^2 +2x + 3)(x^2+1)}
</math>
となる。
329 行
* 執筆者に対する注意
計算には[[w:maxima]]を用いた。
ratsimp((x^2-1 )/(x^3 -1));
▲ ;
)
441 ⟶ 440行目:
一般に、等式 A＝B を証明するためには、次のような手順のいずれかを実行すればよい。
:(1) Aを式変形してBを導くか、または Bを変形してAを導く。
:(2) A,Bをそれぞれ変形して、同じ式Cを導く。
:(3) A-B＝0 を示す。
545 ⟶ 544行目:
上述の4つの基本性質から、
:a>0, b>0 ならば a＋b ＞ 0
を証明してみよう。
559 ⟶ 558行目:
同様にして、
:a＜0, b＜0 ならば a＋b ＜ 0
を証明できる。
565 ⟶ 564行目:
ここまでに示したことから、不等式 <math> A \geqq B </math> を証明したい場合には、
: <math> A-B \geqq 0 </math>
を証明すればよいことがわかった。こちらの方が証明しやすい場合がよくある。
573 ⟶ 572行目:
|-
|style="padding:5px"|
実数 a について、かならず
:<math>a^2 \geqq 0</math>
が成り立つ。
614 ⟶ 613行目:
|style="padding:5px"|
2つの実数a,b について <math>a^2 \geqq 0</math>, <math>b^2 \geqq 0</math> であるから、かならず
:<math>a^2+b^2 \geqq 0</math>
が成り立つ。
659 ⟶ 658行目:
つまり、
: <math> a>0 </math>, <math> b>0 </math> のとき、
::::::::<math> a > b \quad \Longleftrightarrow \quad a^2 > b^2 </math>
::::::::<math> a \geqq b \quad \Longleftrightarrow \quad a^2 \geqq b^2 </math>
である。
これを証明するには、<math> a^2 - b^2 </math> を調べればよい。
:<math> a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) </math>
である。
a>bとする。仮定より、a,b は正の数なので、<math> (a+b)>0 </math> であり、別の仮定より、 a > b なので、<math> (a-b)>0 </math> でもある。よって、<math> a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) >0 </math>
逆に、<math>a^2-b^2>0</math>のとき、<math>(a+b)(a-b)>0</math>であり、<math>a>0,b>0</math>なので<math>a+b>0</math>である。よって、<math>a-b>0</math>なので、<math>a>b</math>である。
690 ⟶ 689行目:
::<math> \sqrt{a} \sqrt{b} = \sqrt{ab} </math>
であることを用いた。
:<math> \sqrt{ab} > 0</math>
であるので、
:<math>( \sqrt{a} + \sqrt{b} )^2 - ( \sqrt{a+b} )^2 > 0 </math>
703 ⟶ 702行目:
であるから、次のことが成り立つ。
また、2つの実数 a, b の絶対値 |ab| については、
709 ⟶ 708行目:
が成り立つので、これにさらに |ab|≧0 , |a||b|≧0 を組み合わせて、
が成り立つ。
723 ⟶ 722行目:
両辺の平方の差を考えると、
:: (|a|＋|b|)<sup>2</sup> ー |a＋b|<sup>2</sup> ＝ |a|<sup>2</sup> ＋ 2|a| |b| ＋ |b|<sup>2</sup> ー(a<sup>2</sup> ＋ 2ab ＋ b<sup>2</sup> )
:::::::: ＝ a<sup>2</sup> ＋ 2|a| |b| ＋ b<sup>2</sup> ーa<sup>2</sup> ー 2ab ー b<sup>2</sup>
:::::::: ＝ 2|a| |b| ー 2ab
:::::::: ＝ 2 ( |a| |b| ー ab )
741 ⟶ 740行目:
{{コラム|三角不等式|
なお
::<nowiki>|a|ー|b| ≦ |a＋b| ≦ |a|＋|b| </nowiki>
の関係式のことを「三角不等式」という。
758 ⟶ 757行目:
:（答）<math>\sqrt{1.5 \times 2} = \sqrt{3} \fallingdotseq 1.73</math> より、約 1.73倍。
:また、この応用例は、項が3つ以上の場合の相乗平均の定義の仕方も、示唆している。もし読者が指数関数を知っているなら、項が3つ（ここでは a, b, c とする）の場合の相乗平均は、
::（3つの項の相乗平均）＝<math> (abc)^{ \frac{1}{3} } </math>
:になる。
856 ⟶ 855行目:
すなわち、数式で書けば
::<math>\frac{ n}{ \dfrac{1}{a_1} + \dfrac{1}{a_2} + \cdots + \dfrac{1}{a_n} } \leqq \sqrt[n] {a_1 a_2 \cdots a_n } \leqq \frac{a_1 + a_2 + \cdots +a_n }{n} </math>
の関係式である。
}}
994 ⟶ 993行目:
このような操作を分母の実数化ということもある。数学Iで学習した展開・因数分解公式 <math>(a+b)(a-b)=a^2-b^2</math>の簡単な応用である。
===== 負の数の平方根 =====
数の範囲を複素数にまで拡張すると、負の数の平方根も考えることができる。
1,129 ⟶ 1,128行目:
*執筆者に対する注意
計算には[[w:maxima]]を用いた。
▲ tex(solve(
▲ x ^2 + 5*x + 9 =0,x
▲ ));
▲ tex(solve(
▲ 2*x ^2 + 5*x + 8 =0,x
▲ ));
▲ tex(
▲ solve(
▲ 2*x ^2 - 2*x + 8 =0,x
▲ ));
)
1,561 ⟶ 1,559行目:
よって
:<math>
x=2\ , \ -1 \pm \sqrt{3} i
</math>
(II) <math>\ x^2=X\ </math>とおくと、
:<math>
X^2-2X-8=0
</math>
左辺を因数分解すると
1,576 ⟶ 1,574行目:
したがって
:<math>
x= \pm 2\ ,\ \pm \sqrt{2} i
</math>
1,648 ⟶ 1,646行目:
<math>x^2-y^2,2xy-1</math>は実数であるから、実部と虚部が共に０にならねばならないから、
<math>\begin{cases}
\end{cases}</math>
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