「高等学校数学A/場合の数と確率」の版間の差分

100までの自然数のうち、2または3の倍数は何個あるか？

100までの自然数のうち、2または3の倍数は何個あるか？

:n(A)＝ 100/2 ＝50 　　なので、集合Aの要素の個数（2の倍数の個数）は 50個、つまり n(A)＝ 50 である。

:n(B)については［99÷3］＝33 なので 集合Bの要素の個数（3の倍数の個数）は33個、つまり n(B)＝ 33 である。

n(A∪B∪C) ＝ n(A) ＋ n(B) ＋ n(C) −n(A∩B) −n(B∩C) −n(C∩A) ＋ n(A∩B∩C)

:A∩B∩C は 30の倍数の集合 となる。

まず最初に並べるものはn個、次に並べるものは(n-1)個、その次に並べるものは(n-2)個 ... とだんだんと選べるものの数が減って行き、最後には1個しか残らなくなることに注目すると、この事柄に関する場合の数は

n (n-1) (n-2) \cdots 3 \cdot 2 \cdot 1

(III)

n個の異なったものからr個を選んで、順番をつけて並べる仕方の数を、<math> {}_n\operatorname{P}P_r_r </math>と書く。

:<math> {}_n\operatorname{P}P_r_r = n (n-1) (n-2) \cdots (n-r+1) = \frac{n!}{(n-r)!}</math>

:※ なお <math> {}_n\operatorname{P}P_r_r </math> のP とは、順列を意味する英語 permutation の頭文字である。

一般に <math> {}_n\operatorname{P}P_r_r </math> では n ≧ r である。

:<math>{} _5 \operatorname{P} _3</math>

:<math>{} _4 \operatorname{P} _2</math>

:<math>{} _7 \operatorname{P} _3</math>

:<math>{} _{10} \operatorname{P} _5</math>

:<math>{} _{10} \operatorname{P} _1</math>

:<math>{} _7 \operatorname{P} _0</math>

:<math>{} _n\operatorname{}P} _r = n (n-1) (n-2) \cdots (n-r+1) = \frac{n!}{(n-r)!}</math>

:<math>{} _5 \operatorname{P} _3 = 5 \times 4 \times 3 = 60</math>

:<math>{} _4 \operatorname{P} _2 = 4 \times 3 = 12</math>

:<math>{} _7 \operatorname{P} _3 = 7\times 6\times 5 = 210</math>

:<math>{} _{10} \operatorname{P} _5 = 10\times 9\times 8\times 7\times 6 = 30240</math>

:<math>{} _{10} \operatorname{P} _1 = 10 </math>

:<math>{} _7 \operatorname{P} _0 = \frac {7!}{7!} = 1</math>

:<math>{} _n \operatorname{P} _1 = n</math>

:<math>{} _n \operatorname{P} _0 = 1</math>

:<math>{} _n \operatorname{P} _0 = 1</math>

異なる n個 の円順列の総数は <math> (n-1)! </math> である。

n個の異なったものからr個を選んで、順番をつけずに並べる仕方の数を、<math> {}_n\operatorname{C}C_r_r </math>と書き、このような計算を 組み合わせ（くみあわせ、英：combination） という。

例えば、いくつもあるボールに番号がふってあるなどの方法で、それぞれのボールが区別できるn個のボールが入った箱の中からr個のボールを取りだす時、取りだしたボールを取りだした順に並べるとすると、この場合の数は順列<math>{} _n\operatorname{}P} _r</math>に対応する。

一方、取りだしたボールの種類が重要であり取りだした順番が特に必要でないときには、この場合の数は組み合わせ<math>{} _n\operatorname{}C} _r</math>に対応する。これらの数はお互いに異なった場合の数であり、互いに異なった計算法が必要となる。

<math>{} _n\operatorname{}C} _r</math>は、<math>{} _n\operatorname{}P} _r</math>通りの並べ方を作った後にそれらの並びを無視したものに等しい。ここで、r個を取りだして作った並びについて、並べ方を無視するとr!個の並びが同一視されることがわかる。

:<math> {}_nC_r_n\operatorname{C}_r =\frac { {}_nP_r_n\operatorname{P}_r }{r!} = \frac{n!}{(n-r)!r!}</math>

:<math>{} _5C_5\operatorname{C} _2</math>

:<math>{} _7C_7\operatorname{C} _3</math>

:<math>{} _{10}\operatorname{C} _1</math>

:<math>{} _8C_8\operatorname{C} _0</math>

:<math>{}_nC_n\operatorname{C} _r =\frac { {}_nP_n\operatorname{P} _r }{r!} = \frac{n!}{(n-r)!r!}</math>

:<math>{} _5C_5\operatorname{C} _2 = \frac {5\times 4}{2\times 1} = 10</math>

:<math>{} _7C_7\operatorname{C} _3 = \frac { 7\times 6\times 5} { 3\times 2\times 1} = 35</math>

:<math>{} _{10}\operatorname{C} _1 = \frac {10} {1} = 10</math>

:<math>{} _8C_8\operatorname{C} _0 = 1 </math>

:<math>{} _nC_n\operatorname{C} _0 = 1</math>

:<math>{} _n\operatorname{}C} _r =\frac { {}_n\operatorname{}P} _r }{r!}</math>

:<math>{} _nC_n\operatorname{C} _0 = \frac {{} _nP_n\operatorname{P} _0} {0!} = \frac 1 {0!} = 1</math>

:<math>{} _5C_5\operatorname{C} _2 = \frac {5!}{2!3!} = \frac { 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2\cdot 1}{(3 \cdot 2 \cdot 1)( \cdot 2 \cdot 1)}</math>

:<math>{} _6C_6\operatorname{C} _3</math>

:<math>{} _3C_3\operatorname{C} _2</math>

:<math>{} _6C _3 \times {} _3C_3\operatorname{C} _2 </math>

:<math>{} _6C _3 \times {} _3C_3\operatorname{C} _2 = 20 \times 3 = 60</math>

:<math>{} _6C_6\operatorname{C} _2</math>

:<math>{} _4C_4\operatorname{C} _2</math>

:<math>{} _6C _2 \times {} _4C_4\operatorname{C} _2 </math>

:<math>{} _6C _2 \times {} _4C_4\operatorname{C} _2 = 15 \times 6 = 90</math>

(III)

<math> {}_n\operatorname{C}C_r_r </math>について以下の式が成り立つ。

:<math> {}_nC_r = _n \operatorname{C} _{n-r}</math> 　　,

:<math> {}_n C _r = _{n-1} C_r + _{n-1} \operatorname{C} _{r-1}</math>

:<math> {}_n\operatorname{C}C_r_r = \frac{n!}{(n-r)!r!}</math>

:<math> {}_n\operatorname{C}C__{n-r} = \frac{n!}{(n-(n-r))!(n-r)!}</math>

:<math> = {}_n\operatorname{C}C_r_r </math>

:<math> {}_n\operatorname{C}C_r_r = \frac{n!}{(n-r)!r!}</math>

:<math> {}_{n-1} C_r + _{n-1} \operatorname{C} _{r-1}</math>

:<math>= \frac {(n-r)}n {}_n\operatorname{C}C_r_r +\frac r n {}_n\operatorname{C}C_r_r</math>

:<math>= {}_n\operatorname{C}C_r_r</math>

:<math>{} _nC_n\operatorname{C} _r = _n \operatorname{\operatorname{C}} _{n-r}</math>

:<math>{} _5C_5\operatorname{C} _3</math>

:<math>{} _7C_7\operatorname{C} _4</math>

:<math>{} _{10}\operatorname{C} _9</math>

:<math>{} _8C_8\operatorname{C} _5</math>

:<math>{} _5C_5\operatorname{C} _3 = {} _5C_5\operatorname{C} _{5-3} = {} _5C_5\operatorname{C} _2 = 10</math>

:<math>{} _7C_7\operatorname{C} _4= {} _7C_7\operatorname{C} _{7-4}={} _7C_7\operatorname{C} _3 = 35</math>

:<math>{} _{10}\operatorname{C} _9= {} _{10}\operatorname{C} _{10-9}= {} _{10}\operatorname{C} _1 = 10</math>

:<math>{} _8C_8\operatorname{C} _5= {} _8C_8\operatorname{C} _{8-5}= {} _8C_8\operatorname{C} _3= 56</math>

となる。

|_|_|_*|_|_|

|_|_|*_|_|_|

|_|_|_|_|_|

:<math>{} _9C_9\operatorname{C} _4</math>

:<math>{} _9C_9\operatorname{C} _4 = 126</math>

:<math>{} _4 \operatorname{C} _2 \times {} _4 \operatorname{C} _2 = 6 \times 6 = 36 </math>

ある場合の数が、実際に現われる割合のことを確率（かくりつ、英：probability）と呼ぶ。

:<math>{} _5C_5\operatorname{C} _2 = \frac {5\times 4}{2\times 1} = 10</math>（通り）

:<math>{} _3C_3\operatorname{C} _2 = \frac {3\times 2}{2\times 1} = 3</math>（通り）

（1）どんな事象Aについても、　<math>0 \leqq \operatorname{P}(A) \leqq 1</math><br>

:'''<math>P(A \cup B) = P(A)+\operatorname{P}(B)</math>'''

:<math>{} _{12}\operatorname{C} _3 = \frac {12\times 11\times 10}{3\times 2\times 1} = 220</math>（通り）

:<math>\operatorname{P}(A) = \frac {{} _7C_7\operatorname{C} _3 }{220}= \frac {35}{220}</math>　

:<math>\operatorname{P}(B) = \frac {{} _5C_5\operatorname{C} _3 }{220}= \frac {10}{220}</math>　

よって求める確率は　<math>P(A \cup B) = P(A)+\operatorname{P}(B) = \frac {35}{220} + \frac {10}{220} = \frac {45}{220} = \frac {9}{44}</math>

:'''<math>P(A) = 1 - \operatorname{P}(\overline{A})</math>'''

:<math>{} _8C_8\operatorname{C} _3 = \frac {8\times 7\times 6}{3\times 2\times 1} = 56</math>（通り）

:<math>\operatorname{P}(\overline{A}) = \frac {{} _5C_5\operatorname{C} _3 }{56} = \frac {10}{56} = \frac {5}{28}</math>

:<math>P(A) = 1 - \operatorname{P}(\overline{A}) = 1 - \frac {5}{28} = \frac {23}{28}</math>

:'''<math>P(A) \times \operatorname{P}(B)</math>'''

:'''<math>{} _nC_n\operatorname{C} _r \; p^r \; (1-p)^{n-r}</math>'''

:<math>{} _5C_5\operatorname{C} _4 \; \left( \frac{1}{3} \right)^4 \; \left(1 - \frac{1}{3} \right)^{5-4} = \frac {10}{243}</math>