「中学数学1年 平面図形」の版間の差分

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中学生向けの数学の教科書に、英語の訳は不要。
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[[File:Straight line and line segment japanese.svg|right|]]
 
2点を通るまっすぐな線を引くとき、その点で止まらずに無限に伸ばした線を'''直線'''(ちょくせん)という。ここで、直線が2つの点を通るとき、この直線をその点の名前を用いて表す。例えば2点<math>\mathrm{A}</math>,<math>\mathrm{B}</math>をとるとき、点<math>\mathrm{A}</math>,<math>\mathrm{B}</math>を越えた後にもその線をのばしていき、そのまま無限に遠い点までのばしていったものを「直線<math>\mathrm{AB}</math>」(英:line AB)または「直線<math>\mathrm{BA}</math>」(英:line BA)という。
 
2つの点の間を結んで得られるまっすぐな線を'''線分'''(せんぶん)という。線分の長さは常に有限である。線分は端点の名前を取って呼ぶ。例えば、ある2点<math>\mathrm{A}</math>,<math>\mathrm{B}</math>を取り、その点の間にまっすぐな線を引いたとき、その図形のことを「線分<math>\mathrm{AB}</math>」(英:segment AB)または「線分<math>\mathrm{BA}</math>」と呼ぶのである。
 
直線上のある点で図形が途切れたとしても、その反対の方向に無限に長くまで続いている図形を特別に'''半直線'''(はんちょくせん)と呼ぶ。半直線の長さは無限であり、半直線の端点は1点だけ存在する。半直線の名前は、「半直線(端点)(もう一つの点)」というようにつける。例えば右図では、「半直線<math>\mathrm{AB}</math>」とよぶ。「半直線<math>\mathrm{BA}</math>」とすると、{{Ruby|端|はし}}の点が点<math>\mathrm{B}</math>となり、点<math>\mathrm{A}</math>側は無限に伸びることになる。
 
{{-}}
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{{-}}
[[File:Distance AB diagram.svg|right|]]
線分<math>\mathrm{AB}</math>は、点<math>\mathrm{A}</math>と点<math>\mathrm{B}</math>をつなぐ他のどんな曲線よりも、もっとも短い。この線分<math>\mathrm{AB}</math>の長さを'''2点<math>\mathrm{A}</math>,<math>\mathrm{B}</math>間の{{Ruby|距離|きょり}}'''という。
 
数学では、<math>\mathrm{AB}</math> と書いて線分<math>\mathrm{AB}</math>の長さを表す場合がある。
 
 
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2直線が全く交わらないとき、この2直線は'''平行'''であるという。
 
たとえば直線<math>\mathrm{AB}</math>と直線<math>\mathrm{CD}</math>が平行であるとき、これを記号'''//'''を用いて、
: <math>\mathrm{AB}</math>//<math>\mathrm{CD}</math>
: AB//CD
と表す。
 
40 行
{{-}}
[[File:L平行M.svg|thumb|]]
直線を「<math>\mathrm{AB}</math>」という表記ではなく、l(<math>l</math>(エル)や<math>m</math>のような文字で表す場合もある。
 
その場合、たとえば直線<math>l</math>と直線<math>m</math>が平行であるなら、
: <math>l</math>//<math>m</math>
: l//m
と表される。
 
 
:※ ウィキの文中では筆記体がウィキでは使えないので(環境依存文字になり、文字化けのおそれがある)、Lの小文字については活字体(英語の通常の書体)の小文字の「l」で代用した。
 
:※ 画像のサイズが適切かどうか分からないが、筆記体エルの画像 [[File:Cursive l for mathematics.svg|12px|]] を作成しておいたので、コレを使うと、
:線[[File:Cursive l for mathematics.svg|12px|]]と線<math>m</math>とが平行であることをあらわすには、
::[[File:Cursive l for mathematics.svg|12px|]]//<math>m</math>
:のように書くことになる。 (※ 場合によっては 筆記体エルの大きさが大きすぎ、または小さすぎかもしれません。正確なサイズについては、検定教科書や市販の参考書などで、ご確認ください。)
 
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角を文字で表す場合は記号'''∠'''を用いて、∠(始点)(交点)(終点)というように表す。例えば右図の角は、
:∠<math>\mathrm{ABC}</math>
:∠ABC
だとか
:∠<math>\mathrm{CBA}</math>
:∠CBA
というように表す。
 
誤解のおそれがなければ、もう少し簡潔に表すこともできる。さきほどの図形の場合なら、角∠ABC∠<math>\mathrm{ABC}</math>は、単に
:∠<math>\mathrm{B}</math>
:∠B
とあらわしたり、またはアルファベットの小文字を使って
:∠<math>b</math>
:∠b
と表してもいい。
 
 
ただし、複雑な図形では ∠B∠<math>\mathrm{B}</math> のような表し方が混乱を招くことがあるので避けたほうがよい場合もある。
 
 
 
2直線が交わってできる角が直角になるとき、2直線は'''垂直'''(すいちょく)であるという。
たとえば直線<math>L</math>と直線<math>M</math>が垂直であるとき、これを記号 '''⊥''' を用いて、
: <math>L</math>⊥<math>M</math>
: L⊥M
と表す。
 
:※ 通常、直線をあらわす文字には、大文字の<math>L</math><math>M</math>でなく小文字で表すのが日本の中学高校での慣習だが、しかし<math>L</math>の小文字<math>l</math>が数字1とまぎらわしいので、ウィキでは大文字で表記した。
 
=== 垂線 ===
[[File:AB perpendicular CD for education.svg|thumb|300px|right]]
 
<math>\mathrm{AB}</math>と線<math>\mathrm{CD}</math>とが垂直であることを表す場合、
'''<math>\mathrm{AB}</math>⊥<math>\mathrm{CD}</math>'''
'''AB⊥CD'''
のように表し、「<math>\mathrm{AB}</math> 垂直 <math>\mathrm{CD}</math>」と読む。
 
また、ある2つの線が垂直に交わるとき、一方の線をもう片方の線の垂線(すいせん)であるという。
 
たとえば、右の図形の場合、線<math>\mathrm{AB}</math>は線<math>\mathrm{CD}</math>の垂線である。また<math>\mathrm{CD}</math><math>\mathrm{AB}</math>の垂線である。
 
 
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[[File:Perpendicular Bisector japanese.svg|thumb|]]
 
線分<math>\mathrm{AB}</math>上(線分<math>\mathrm{AB}</math>に乗っかっているという意味)の点で、点<math>\mathrm{A}</math>と点<math>\mathrm{B}</math>からの距離が等しい点を '''中点''' (ちゅうてん)という。
 
右図では、点<math>\mathrm{M}</math>が線分<math>\mathrm{AB}</math>の中点である。このとき、中点の性質により
:<math> AM = BM = \frac{1}{2}AB </math>
が成り立つ。
 
線分<math>\mathrm{AB}</math>の中点を通り、線分<math>\mathrm{AB}</math>に垂直な線を、線分<math>\mathrm{AB}</math>の'''垂直二等分線'''という。
 
つまり、線分の垂直2等分線とは、ある線分の中点を通ってその線分に垂直な直線のことである。垂直二等分線は、線分が与えられたとき必ず存在する。
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ある角が与えられたとき、その角の大きさを2等分するような直線(または半直線または線分)のことを、その角の'''二等分線'''(にとうぶんせん)という。
 
たとえば、右の図では、まっすぐな線<math>\mathrm{OP}</math>∠AOB∠<math>\mathrm{AOB}</math>の二等分線であるとすると、
:<math>\angle \mathrm{AOP} = \angle \mathrm{BOP} = \frac{1}{2}\angle \mathrm{AOB}</math>
が成り立つ。
 
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[[File:Circle and arc diagram japanese.svg|300px|right|]]
 
<math>\mathrm{O}</math>を中心とする円(えん)を、円<math>\mathrm{O}</math>という。
 
また、円周上の一部を '''弧''' (こ)という。2点<math>\mathrm{A}</math><math>\mathrm{B}</math>を両端とする弧を、'''弧<math>\mathrm{AB}</math>'''(こエービー)といい、記号 <math style>\begin{array}{c}\frown\\[-9pt] \scriptstyle \rm \end{array}</math> をつかって[[File:Arc AB.svg|Arc AB.svg]]
とあらわす。「弧<math>\mathrm{AB}</math>」は「こエービー」と読む。
 
:※ パソコンの入力上の理由のため、ウィキでは<math style>\begin{array}{c}\frown\\[-9pt] \scriptstyle \rm AB\end{array}</math> で代用する場合がある。
 
また、円周上の2点を結ぶ線分を '''弦''' (げん)といい、2点<math>\mathrm{A}</math>,<math>\mathrm{B}</math>を両端とする線分を '''弦<math>\mathrm{AB}</math>'''(げんエービー)という。「弦<math>\mathrm{AB}</math>」は「げんエービー」と読む。
 
:※ 円弧には短いほうの弧と長いほうの弧の2種類があるが、[[File:Arc AB.svg|Arc AB.svg]]のように書いた場合は、普通は短いほうを指す。
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[[File:Arc ACB.svg|thumb|]]
長いほうの弧をあらわした場合、右図のように、長いほうの弧の上に点<math>\mathrm{C}</math>をとって [[File:Arc ACB 2.svg|Arc ACB 2.svg]] と書く。
 
 
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円の周の長さと面積の求め方は、すでに小学校で学んだだろう。そのとき、'''円周率'''(えんしゅうりつ)というものを使用した。円周率は、円周の直径に対する割合であり、3.1415926535897…と無限に続く小数である。そのために、これからは円周率を、<math>\pi</math>(パイ)で表わす。
 
半径<math>r</math>の円の周の長さをℓとして、面積を<math>S</math>とすると、
 
ℓ<math>=2\pi\mbox{r}</math>
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おうぎ形の面積の大きさは、中心角の大きさによって決まる。例えば中心角が20°のおうぎ形の面積や弧の長さは、同じ半径の円の面積や周の長さの<math>\frac{20}{360}</math>倍である。
 
おうぎ形の面積を<math>S</math>、弧の長さを<math>l</math>、中心角を<math>a</math>、半径を<math>r</math>とすると、
 
ℓ<math>=2\pi r \times \frac{a}{360}</math>
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円の接線は、接点を通る半径に垂直である。
{{-}}
 
242 ⟶ 241行目:
=== 回転移動 ===
[[Image:RotationL.svg|thumb|回転移動]]
図形を1つの定点<math>\mathrm{O}</math>を中心としてある角度だけ回転させることを'''回転移動'''(かいてん いどう)という。このとき、<math>\mathrm{O}</math>を'''回転の中心'''(かいてん の ちゅうしん)という。
 
{{clear}}
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図形をある直線を折り目として折り返すような移動を'''対称移動'''(たいしょう いどう)といい、折り目とした直線を'''対称の軸'''(たいしょう の じく)という。
 
対称移動によって点<math>\mathrm{P}</math>が点<math>\mathrm{Q}</math>に移動するとき、対称の軸は線分<math>\mathrm{PQ}</math>の垂直二等分線になっている。