「中学数学1年 平面図形」の版間の差分

2点を通るまっすぐな線を引くとき、その点で止まらずに無限に伸ばした線を'''直線'''（ちょくせん）という。ここで、直線が2つの点を通るとき、この直線をその点の名前を用いて表す。例えば2点 <math>\mathrm{A}</math>,<math> \, \mathrm{B}</math> をとるとき、点 <math>\mathrm{A}</math>,<math> \, \mathrm{B}</math> を越えた後にもその線をのばしていき、そのまま無限に遠い点までのばしていったものを「直線 <math>\mathrm{AB}</math> 」（英：line AB）または「直線 <math>\mathrm{BA}</math> 」（英：line BA）という。

2つの点の間を結んで得られるまっすぐな線を'''線分'''（せんぶん）という。線分の長さは常に有限である。線分は端点の名前を取って呼ぶ。例えば、ある2点 <math>\mathrm{A}</math>,<math> \, \mathrm{B}</math> を取り、その点の間にまっすぐな線を引いたとき、その図形のことを「線分 <math>\mathrm{AB}</math> 」（英：segment AB）または「線分 <math>\mathrm{BA}</math> 」と呼ぶのである。

直線上のある点で図形が途切れたとしても、その反対の方向に無限に長くまで続いている図形を特別に'''半直線'''（はんちょくせん）と呼ぶ。半直線の長さは無限であり、半直線の端点は1点だけ存在する。半直線の名前は、「半直線（端点）（もう一つの点）」というようにつける。例えば右図では、「半直線 <math>\mathrm{AB}</math> 」とよぶ。「半直線 <math>\mathrm{BA}</math> 」とすると、{{Ruby|端|はし}}の点が点 <math>\mathrm{B}</math> となり、点 <math>\mathrm{A}</math> 側は無限に伸びることになる。

線分 <math>\mathrm{AB}</math> は、点 <math>\mathrm{A}</math> と点 <math>\mathrm{B}</math> をつなぐ他のどんな曲線よりも、もっとも短い。この線分 <math>\mathrm{AB}</math> の長さを'''2点 <math>\mathrm{A}</math>,<math> \, \mathrm{B}</math> 間の{{Ruby|距離|きょり}}'''という。

数学では、 <math>\mathrm{AB}</math> と書いて線分 <math>\mathrm{AB}</math> の長さを表す場合がある。

たとえば直線 <math>\mathrm{AB}</math> と直線 <math>\mathrm{CD}</math> が平行であるとき、これを記号'''//'''を用いて、

: <math>\mathrm{AB}</math>//<math> \parallel \mathrm{CD}</math>

直線を「 <math>\mathrm{AB}</math> 」という表記ではなく、 <math>l</math> （エル）や <math>m</math> のような文字で表す場合もある。

その場合、たとえば直線 <math>l</math> と直線 <math>m</math> が平行であるなら、

: <math>l</math>//<math> \parallel m</math>

:線[[File:Cursive l for mathematics.svg|12px|]]と線 <math>m</math> とが平行であることをあらわすには、

::[[File:Cursive l for mathematics.svg|12px|]]// <math>m</math>

角を文字で表す場合は記号'''∠ <math>\angle</math> '''を用いて、∠(始点)(交点)(終点)というように表す。例えば右図の角は、

:∠ <math>\angle \mathrm{ABC}</math>

:∠ <math>\angle \mathrm{CBA}</math>

誤解のおそれがなければ、もう少し簡潔に表すこともできる。さきほどの図形の場合なら、角∠ <math>\angle \mathrm{ABC}</math> は、単に

:∠ <math>\angle \mathrm{B}</math>

:∠ <math>b</math>

ただし、複雑な図形では ∠ <math>\angle \mathrm{B}</math> のような表し方が混乱を招くことがあるので避けたほうがよい場合もある。

たとえば直線 <math>L</math> と直線 <math>M</math> が垂直であるとき、これを記号 '''⊥ <math>\perp</math> ''' を用いて、

: <math>L</math>⊥<math> \perp M</math>

:※ 通常、直線をあらわす文字には、大文字の <math>L</math> や <math>M</math> でなく小文字で表すのが日本の中学高校での慣習だが、しかし <math>L</math> の小文字 <math>l</math> が数字1とまぎらわしいので、ウィキでは大文字で表記した。

線 <math>\mathrm{AB}</math> と線 <math>\mathrm{CD}</math> とが垂直であることを表す場合、

''' <math>\mathrm{AB}</math>⊥<math> \perp \mathrm{CD}</math> '''

のように表し、「 <math>\mathrm{AB}</math> 垂直 <math>\mathrm{CD}</math> 」と読む。

たとえば、右の図形の場合、線 <math>\mathrm{AB}</math> は線 <math>\mathrm{CD}</math> の垂線である。また <math>\mathrm{CD}</math> は <math>\mathrm{AB}</math> の垂線である。

線分 <math>\mathrm{AB}</math> 上（線分 <math>\mathrm{AB}</math> に乗っかっているという意味）の点で、点 <math>\mathrm{A}</math> と点 <math>\mathrm{B}</math> からの距離が等しい点を '''中点''' （ちゅうてん）という。

右図では、点 <math>\mathrm{M}</math> が線分 <math>\mathrm{AB}</math> の中点である。このとき、中点の性質により

: <math> \mathrm{AM} = \mathrm{BM} = \frac{1}{2}\mathrm{AB} </math>

線分 <math>\mathrm{AB}</math> の中点を通り、線分 <math>\mathrm{AB}</math> に垂直な線を、線分 <math>\mathrm{AB}</math> の'''垂直二等分線'''という。

たとえば、右の図では、まっすぐな線 <math>\mathrm{OP}</math> が ∠ <math>\angle \mathrm{AOB}</math> の二等分線であるとすると、

: <math>\angle \mathrm{AOP} = \angle \mathrm{BOP} = \frac{1}{2}\angle \mathrm{AOB}</math>

例えば、直角は90 <math>{}^\circ</math> であるので、その角の2等分線を取ったとき、

角の二等分線とそれ以外の直線がなす角は45 <math>{}^\circ</math> である。

点 <math>\mathrm{O}</math> を中心とする円（えん）を、円 <math>\mathrm{O}</math> という。

また、円周上の一部を '''弧''' （こ）という。2点 <math>\mathrm{A}</math> 、 <math>\mathrm{B}</math> を両端とする弧を、'''弧 <math>\mathrm{AB}</math> '''（こエービー）といい、記号 <math style>\begin{array}{c}\frown\\[-9pt] \scriptstyle \rm \end{array}</math> をつかって[[File:Arc AB.svg|Arc AB.svg]]

とあらわす。「弧 <math>\mathrm{AB}</math> 」は「こエービー」と読む。

また、円周上の2点を結ぶ線分を '''弦''' （げん）といい、2点 <math>\mathrm{A}</math>,<math> \, \mathrm{B}</math> を両端とする線分を '''弦 <math>\mathrm{AB}</math> '''（げんエービー）という。「弦 <math>\mathrm{AB}</math> 」は「げんエービー」と読む。

長いほうの弧をあらわした場合、右図のように、長いほうの弧の上に点 <math>\mathrm{C}</math> をとって [[File:Arc ACB 2.svg|Arc ACB 2.svg]] と書く。

また、おうぎ形で2つの半径のつくる角のことを '''中心角''' （ちゅうしんかく）という。右図の場合、 <math>\angle AOB</math> が中心角である。

円の周の長さと面積の求め方は、すでに小学校で学んだだろう。そのとき、'''円周率'''（えんしゅうりつ）というものを使用した。円周率は、円周の直径に対する割合であり、3.1415926535897…と無限に続く小数である。そのために、これからは円周率を、 <math>\pi</math> （パイ）で表わす。

半径 <math>r</math> の円の周の長さをℓとして、面積を <math>S</math> とすると、

ℓ <math>=2\pi\mbox{r}</math>

おうぎ形の面積の大きさは、中心角の大きさによって決まる。例えば中心角が20°のおうぎ形の面積や弧の長さは、同じ半径の円の面積や周の長さの <math>\frac{20}{360}</math> 倍である。

おうぎ形の面積を <math>S</math> 、弧の長さを <math>l</math> 、中心角を <math>a</math> 、半径を <math>r</math> とすると、

ℓ <math>=2\pi r \times \frac{a}{360}</math>

<math>S=\frac{1}{2}</math> ℓ <math>r</math>

図形を1つの定点 <math>\mathrm{O}</math> を中心としてある角度だけ回転させることを'''回転移動'''（かいてん いどう）という。このとき、 <math>\mathrm{O}</math> を'''回転の中心'''（かいてん の ちゅうしん）という。

対称移動によって点 <math>\mathrm{P}</math> が点 <math>\mathrm{Q}</math> に移動するとき、対称の軸は線分 <math>\mathrm{PQ}</math> の垂直二等分線になっている。

ある図形について、ある点を中心に180 <math>{}^\circ</math> 回転させたとき図形が最初の図形と

中心に図形上の点を180 <math>{}^\circ</math> 回転させた点は、まさしく上で述べたような