「高等学校数学I/図形と計量」の版間の差分

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== 三角比 ==

たとえば、2つの直角三角形において、直角以外のある1つの角の大きさが等しいとき、その2つの三角形は相似であるといえる。このとき、相似な2つの三角形の角の大きさはそれぞれ等しい。また3辺それぞれの長さは定まらないが、3辺の長さの比は等しくなる。これらのことから、直角以外の角度は辺の長さの比によって特徴づけられるといえる。

 

<math>90^\circ-x</math>は、xという大きさの角を持った直角三角形があるとき、直角でもxでもない大きさの角である。(三角形の内角の和が<math>180^\circ</math>であるため。)このため、<math>90^\circ-x</math>に対する三角比は、xに対する三角比を定義するのに使った三角形を用いて表わすことが出来る。実際にこの定義を導入すると、確かにこの結果が成り立つ。

 

ここまでで、<math>0^\circ < r < 90^\circ</math>の条件を満たす角度rに対して、正弦、余弦、正接を定義した。しかし、これ以降三角形に関する定理を扱う上では、<math>90^\circ < r < 180^\circ</math>までの範囲で正弦、余弦、正接を定義しておくと都合がよい。ここでは、三角比の定義の範囲を拡張する方法を説明する。

 

これらの角度の三角比はよく用いるので、必要なときに即座に導出できるようにしておくべきである。一方で、三角比はこれらの角でなくとも任意の角で定義できる概念であることも忘れてはならない。なお、これらの角以外の角の三角比の値が必要な場合は、いくつかの例外を除けば正確な値をきれいな形で表記することは困難であり、教科書巻末などに載っている三角比の表を用いることになる。

 

:<math>

\frac a {\sin A} = \frac b {\sin B} = \frac c {\sin C} = 2R

 

次に三角形が鋭角三角形であるときを考える。特に角Aに注目する。Aと同じ円周角を持つ点の中で、角CBDが<math>90^\circ</math>になるように、点Dをとる。

このとき、三角形BCDについて、<math>\sin</math>の定義から、

:<math>

このことは確かに成立している。

 

[[画像:Right triangle for cosine theorem.png|thumb|A,B,C,a,b,cの定義]]

 

 

</math>

 

 

* 導出

 

:図

このとき、CHの長さはa cos C と表わせ、BHの長さはa sin C と表わせる。三角形ABHについて三平方の定理を用いると、

となる。

 

 

長さの比が2倍になると面積は4倍になる。一般に、長さの比が <math>a</math> 倍になると面積は <math>a^2</math> 倍になる。長さの比が2倍になると体積は8倍になる。一般に、長さの比が <math>a</math> 倍になると体積は <math>a^3</math> 倍になる。

 

球の表面積を''S''として、体積を''V''とするとき

:<math>S=4 \pi r^2</math>

と表せる。

<!-- 平面図形や簡単な空間図形の計量?? -->

三角形の2辺a,bとその間の角Cが与えられているとき、三角形の面積Sは、

:<math>S=\frac 1 2 ab \sin C</math>