「高等学校数学I/図形と計量」の版間の差分

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{{pathnav|高等学校の学習|高等学校数学|高等学校数学I|pagename=図形と計量|frame=1|small=1}}ここでは、三角比(さんかくひ)と、それを用いた定理を扱う。
 
ここでは、三角比(さんかくひ)と、それを用いた定理を扱う。
 
== 三角比 ==
<math>\angle \mathrm{C},\, \angle \mathrm{C}'</math> が直角で<math>\angle \mathrm{A} = \angle{\mathrm A'}</math> である直角三角形 <math>\triangle \mathrm{ABC},\,\triangle \mathrm{A'B'C'}</math> について考える。<math>\triangle \mathrm{ABC},\,\triangle \mathrm{A'B'C'}</math> は2つの角の大きさが等しいので掃除である。<!-- 図 -->
=== 定義 ===
たとえば、2つの直角三角形において、直角以外のある1つの角の大きさが等しいとき、その2つの三角形は相似であるといえる。このとき、相似な2つの三角形の角の大きさはそれぞれ等しい。また3辺それぞれの長さは定まらないが、3辺の長さの比は等しくなる。これらのことから、直角以外の角度は辺の長さの比によって特徴づけられるといえる。
 
このとき、<math>\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AB}} = \frac{\mathrm{B'C'}}{\mathrm{A'B'}}</math> である。このことから 対辺/斜辺 は角の大きさのみに依存することが分かる。そこで、<math>\angle \mathrm{C}</math> が直角である直角三角形 <math>\triangle \mathrm{ABC}</math> において、<math>\sin A = \frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AB}}</math> とする。これを正弦(sine)という。
実際に考えてみよう。ある直角三角形において、その角のうち直角でない角の1つの大きさを、<math>r</math> として、相対する辺の長さを<math>a</math>とする。更に、最も長い辺、つまり直角三角形の斜辺の長さを<math>c</math>とし、それ以外の辺の長さを<math>b</math>とする。
[[画像:Right triangle to define sine or cosine.png|thumb|r,a,b,cの定義]]
(ピタゴラスの定理(「三平方の定理」とも言う)から、<math>a^2 +b^2 = c^2</math>が成り立つことに注意せよ。)
 
同様に、直角三角形において 底辺/斜辺 は角の大きさのみに依存する。そこで、<math>\cos A = \frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AB}}</math> とする。これを余弦(cosine)という。
このとき、直角以外の角度である<math>r</math>は、前に述べた通り、辺の長さの比によって特徴づけられる。これらの辺の長さの比<math>a:c\ ,\ b:c\ ,\ a:b</math>の3種類の比の値をそれぞれ
:<math>
\sin
</math>
:<math>
\cos
</math>
:<math>
\tan
</math>
というのである。すなわち、sin r は、
:<math>
\sin r = \frac a c
</math>
で与えられる。
同様に、
:<math>
\cos r = \frac b c
</math>
:<math>
\tan r = \frac a b
</math>
で、 cos r, tan r も定義する。
 
同様に、直角三角形において 対辺/底辺 は角の大きさのみに依存する。そこで、<math>\tan A = \frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AC}} = \frac{\sin A}{\cos A}</math> とする。これを正接(tangent)という。
覚え方としてしばしば以下の説明が用いられる。数学的には無意味な説明だが、これが覚えやすければ用いてもよい。下の図の中で、小文字のsを筆記体でかくときのつづりに対応する量が<math>\sin</math>であり、筆記体のcに対応する量が<math>\cos</math>であり、筆記体のtに対応する量が<math>\tan</math>である。
 
これら、<math>\sin,\,\cos,\,\tan</math> が三角比である。
:
覚え方としてしばしば以下の説明が用いられる。数学的には無意味だが、これが覚えやすければ用いてもよい。下の図の中で、小文字のsを筆記体でかくときのつづりに対応するものが<math>\sin</math>であり、筆記体のcに対応するものが<math>\cos</math>であり、筆記体のtに対応するものが<math>\tan</math>である。
:[[画像:Sinの定義.png]][[画像:Cosの定義.png]][[画像:Tanの定義.png]]
 
この定義から、<math>\sin </math>,<math>\cos </math>, <math>\tan </math>三角比について次の性質が成り立つ。
:<math>\sin (90^\circ -x ) = \cos x</math>
:<math>\cos (90^\circ -x ) = \sin x</math>
:<math>\tan (90^\circ -x ) = \frac 1 {\tan x}</math>
:証明
 
<math>90^\circ-x</math>は、xという大きさの角を持った直角三角形があるとき、直角でもxでもない大きさの角である。(三角形の内角の和が<math>180^\circ</math>であるため。)このため、<math>90^\circ-x</math>に対する三角比は、xに対する三角比を定義するのに使った三角形を用いて表わすことが出来る。実際にこの定義を導入すると、確かにこの結果が成り立つ。<!-- 図 -->
* 証明
<math>90^\circ-x</math>は、xという大きさの角を持った直角三角形があるとき、直角でもxでもない大きさの角である。(三角形の内角の和が<math>180^\circ</math>であるため。)このため、<math>90^\circ-x</math>に対する三角比は、xに対する三角比を定義するのに使った三角形を用いて表わすことが出来る。実際にこの定義を導入すると、確かにこの結果が成り立つ。
 
=== 定義の拡張 ===
ここまでで、<math>0^\circ < r < 90^\circ</math>の条件を満たす角度rに対して、正弦、余弦、正接三角比を定義した。しかし、これ以降三角形に関する定理を扱う上では、<math>90^\circ < r < 180^\circ</math>までの範囲で正弦、余弦、正接三角比を定義しておくと都合がよい。ここでは、三角比の定義の範囲を拡張する方法を説明する。<!-- ここで使われた図は修正し、文章中の数式の文字を変更したほうがいい -->
 
まず、原点を中心とした座標平面上に半径1 <math>r</math> の円([[w:単位円|単位円]])く。第1象限つぎ属する上の1第一象限に <math>\mathrm A(a,b)</math> をし(よってa直線 <math>\mathrm{OA}</math>0, bと <math>0)、x</math> 軸の正の向き(原点より右側)の半直線と線分OAによって作られるなす角を <math>x</math> する(よっておく。<math>0^\circmathrm A</math> xから < 90^\circmath>x</math>)。このとき、Aからx 軸に向かって垂直に下ろした垂直の足 <math>\mathrm B</math> とすると、三角形 <math>\mathrm{OAB}</math> <math>\angle \mathrm{OBA}</math> を直角とする直角三角形である。このとき、三角比の定義から、<math>\sin x = \frac{b}{r}</math> ,<math>\cos x = \frac{a}{ r}</math>, <math>\tan x = \frac{b}{a}</math> と表せる。
 
[[File:Trigonometric Functions in Acute Angle Defined by Unit Circle.png|thumb|400px|left|単位円を使って定義された、鋭角における三角関数]]
:
 
ここで、{{-}}<math>\sin x</math> ,<math>90^\coscirc < x </math>, <math>180^\tan xcirc</math> 値はそれぞれときも上記の式に従って三角比を定義する。
:<math>\sin x = \frac{b}{\rm OA}</math> ,<math>\cos x = \frac{a}{\rm OA}</math>, <math>\tan x = \frac{b}{a}</math> と表せる。
OAは円Oの半径なのでOA=1である。よって
:<math>\sin x = b</math> ,<math>\cos x = a</math>, <math>\tan x = \frac{b}{a}</math> といえる。
 
{{-}}
 
次に、Aを円に沿って第2象限へ移動させる。先ほどと同様に、x軸の正の向きの半直線とOAによって作られる角をxとする。このとき<math>90^\circ < x < 180^\circ</math>となるため、角x側に直角三角形を作ることはできない。
75 ⟶ 47行目:
 
 
 
なお、実際には、この定義は任意の角<math>0^\circ \leqq r < 360^\circ</math>に対して適用できるが、このことは[[高等学校数学II]]の学習範囲である。
なお、実際には、この定義は任意の角 <math>0^\circ \leqq r < 360^\circ</math>に対して適用できるが、このことは[[高等学校数学II]]の学習範囲である。
 
また、図形的な性質を用いると、<math>0^\circ<x<90^\circ</math>のとき次の性質が成り立つ。
119 ⟶ 92行目:
が得られることを示せ。(<math>\sin^2 r\ ,\ \cos^2 r\ ,\ \tan^2 r</math>は、それぞれ
<math>(\sin r)^2\ ,\ (\cos r)^2\ ,\ (\tan r)^2</math>という意味である。)
* 解答
上で得たような直角三角形を考えると、
159 ⟶ 131行目:
:<math>\begin{align}
\cos ^ 2 r & = 1 - \sin ^2 r\\
& = 1 - \frac 1 9\\
& = \frac 8 9
\end{align}
</math>
166 ⟶ 138行目:
:<math>\begin{align}
\cos r & = \sqrt { \frac 8 9 }\\
& = \frac {2\sqrt 2} 3
\end{align}
</math>
172 ⟶ 144行目:
さらに、<math>\tan r=\frac{\sin r}{\cos r}</math>に代入すると、
:<math>\tan r = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{2\sqrt{2}}{3}}=\frac{\sqrt{2}}{4}</math>
となる。
 
* 問題
191 ⟶ 163行目:
 
* 備考
これらの角度の三角比はよく用いるので、必要なときに即座に導出覚えようにしておくべきである。一方でもちろん三角比はこれらの有名角でくとい三角比任意計算することが出来る。そ角で計算方法として、直接作図して測する方法や、マクローリン展開(数IIIの知識があれば理解できる概念であが、主に大学範囲)を利用して求めることも忘れてはなが挙げないれるなおしかしこれら計算方法は煩雑である。有名以外の角のではない三角比の値が必要な知りたい場合は、いくつかの例外を除けば正確スマホやパソコン値をきどにインストールさいな形た電卓アプリまたは、ブラウザ表記検索ればその値が分かことは困難。試験あり三角比の値が必要な場合は教科書巻末などに載っているの形式で三角比の表を用いることにな値が与えられる。
 
== 正弦定理 ==
198 ⟶ 170行目:
\frac a {\sin A} = \frac b {\sin B} = \frac c {\sin C} = 2R
</math>
が成り立つ。ここで、 R は三角形の外接円の半径である。
 
* 導出
301 ⟶ 273行目:
 
== 余弦定理 ==
[[ファイル:Triangle with notations 2.svg|サムネイル]]次の三角形について、
[[画像:Right triangle for cosine theorem.png|thumb|A,B,C,a,b,cの定義]]
 
次の三角形について、
 
<math>
c^2 = ba^2 + ab^2 - 2ab \cos \gammaC
</math>
 
313 ⟶ 282行目:
 
* 導出
点 <math>\mathrm{B}</math> から直線 <math>\mathrm{CA}</math> におろした垂線の足を点 <math>\mathrm{H}</math> とする。<!-- 図 -->
 
線分 <math>\mathrm{AH}</math> の長さについて
点Bから線分ACに対して垂線を下ろし、垂線と線分ACがぶつかった点をHと呼ぶとしよう。
 
:図
<math>A</math> が鋭角かつ <math>C</math> が鋭角のとき、 <math>\mathrm{AH} =\mathrm{CA} - \mathrm{CH} = b- a\cos C</math><!-- 図 -->
このとき、CHの長さはa cos C と表わせ、BHの長さはa sin C と表わせる。三角形ABHについて三平方の定理を用いると、
 
:<math>
<math>A</math> が鈍角かつ <math>C</math> が鋭角のとき、<math>\mathrm{AH} = \mathrm{CH} - \mathrm{CA} = a\cos C - b</math><!-- 図 --><!-- 図 -->
AH^2 + BH^2 = AB^2
 
</math>
<math>A</math> が鋭角かつ <math>C</math> が鈍角のとき、<math>\mathrm{AH} = \mathrm{AC} + \mathrm{CH} = b - a\cos C</math><!-- 図 -->
:<math>
 
(b - a \cos C)^2 + (a \sin C)^2 = c^2
である。
</math>
 
:<math>
<math>\mathrm{BH} = a\sin C</math>
b^2 - 2a b \cos C + a^2 \cos ^2 C+ a^2 \sin ^2 C = c^2
 
</math>
三平方の定理より、
:<math>
 
b^2 - 2a b \cos C + a^2 = c^2
<math>c^2 = \mathrm{AB}^2 = \mathrm{BH}^2 + \mathrm{AH}^2 = (a\sin C)^2 + (b - a\cos C)^2 = a^2 + b^2 -2ab\cos C </math><!-- 図 -->
</math>
 
となり、求めたい式に対応した式が得られた。頂点A、Bについても同様にして求めることが出来る。
頂点A、Bについても同様にして求めることが出来る。
 
'''余弦定理の系'''
 
* 上の三角形について <math>\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}</math> である。
* <math>\mathrm{A}</math> が鋭角 <math>\iff \cos A > 0 \iff b^2 + c^2 > a^2</math>
* <math>\mathrm A </math> が鈍角 <math>\iff \cos A<0 \iff b^2 + c^2 < a^2</math>
 
* 問題例
357 ⟶ 334行目:
</math>
:<math>
=9 + 16 - 24 \times \frac 1 2
= 13
</math>
397 ⟶ 374行目:
</math>
:<math>
= \frac{9 + 13- 16}{2 \times 3 \times \sqrt{13}}
</math>
:<math>
417 ⟶ 394行目:
:<math>
\angle C = 180 {}^\circ
- 60{}^\circ -
a {}^\circ
</math>
:<math>
= 120{}^\circ -
a {}^\circ
</math>
439 ⟶ 416行目:
(ii)
:<math>
AB = 5, \angle A = 45 ^ \circ , C = 75^\circ
</math>
 
449 ⟶ 426行目:
余弦定理によって、
:<math>
AC ^2 = 4 ^2 + 7 ^2 - 2 \times 4 \times 7 \times \cos 60 ^\circ
</math>
:<math>
487 ⟶ 464行目:
であることを用いて、
:<math>
\angle C
= 60 ^ \circ
</math>
520 ⟶ 497行目:
 
== 図形の計量 ==
 
=== 相似形の面積比、体積比 ===
長さの比が2倍になると面積は4倍になる。一般に、長さの比が <math>a</math> 倍になると面積は <math>a^2</math> 倍になる。長さの比が2倍になると体積は8倍になる。一般に、長さの比が <math>a</math> 倍になると体積は <math>a^3</math> 倍になる。
 
=== 球の表面積、体積 ===
球の表面積を''S''として、体積を''V''とするとき
:<math>S=4 \pi r^2</math>
:<math>V = \frac{4}{3} \pi r^3</math>
と表せる。
<!-- 平面図形や簡単な空間図形の計量?? -->
=== 三角形の面積公式 ===
三角形の2辺a,bとその間の角Cが与えられているとき、三角形の面積Sは、
548 ⟶ 515行目:
となる。
 
=== 内心と三角形の面積の関係 ===
三角形 <math>\mathrm{ABC}</math> の一辺の長さをそれぞれ <math>a,b,c</math> とし、三角形の面積を <math>S</math> 、内心の半径を <math>r</math> 、内心点を <math>\mathrm I</math> とする。
 
このとき、 <math>S = \frac{r}{2}(a+b+c)</math> が成り立つ。<!-- 図 -->
 
'''証明'''
 
<math>S = \triangle \mathrm{ABC} = \triangle \mathrm{ABI} + \triangle \mathrm{BCI} + \triangle \mathrm{CAI}</math> であるが、後者のそれぞれの三角形の面積は <math>\frac{ar}{2},\frac{br}{2},\frac{cr}{2}</math> である。これを代入すれば、求めていた式が得られる。
 
* 発展的な内容 ヘロンの公式
575 ⟶ 550行目:
 
== 演習問題 ==
{{DEFAULTSORT:こうとうかつこうすうかくI すけいとけいりよう}}
[[Category:高等学校数学I|すけいとけいりよう]]
{{DEFAULTSORT:こうとうかつこうすうかくI すけいとけいりよう}}
[[Category:高等学校数学I|すけいとけいりよう]]