「高等学校数学I/図形と計量」の版間の差分
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{{pathnav|高等学校の学習|高等学校数学|高等学校数学I|pagename=図形と計量|frame=1|small=1}}ここでは、三角比(さんかくひ)と、それを用いた定理を扱う。
== 三角比 ==
<math>\angle \mathrm{C},\, \angle \mathrm{C}'</math> が直角で<math>\angle \mathrm{A} = \angle{\mathrm A'}</math> である直角三角形 <math>\triangle \mathrm{ABC},\,\triangle \mathrm{A'B'C'}</math> について考える。<math>\triangle \mathrm{ABC},\,\triangle \mathrm{A'B'C'}</math> は2つの角の大きさが等しいので掃除である。<!-- 図 -->
このとき、<math>\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AB}} = \frac{\mathrm{B'C'}}{\mathrm{A'B'}}</math> である。このことから 対辺/斜辺 は角の大きさのみに依存することが分かる。そこで、<math>\angle \mathrm{C}</math> が直角である直角三角形 <math>\triangle \mathrm{ABC}</math> において、<math>\sin A = \frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AB}}</math> とする。これを正弦(sine)という。
同様に、直角三角形において 底辺/斜辺 は角の大きさのみに依存する。そこで、<math>\cos A = \frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AB}}</math> とする。これを余弦(cosine)という。
同様に、直角三角形において 対辺/底辺 は角の大きさのみに依存する。そこで、<math>\tan A = \frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AC}} = \frac{\sin A}{\cos A}</math> とする。これを正接(tangent)という。
これら、<math>\sin,\,\cos,\,\tan</math> が三角比である。
:
覚え方としてしばしば以下の説明が用いられる。数学的には無意味だが、これが覚えやすければ用いてもよい。下の図の中で、小文字のsを筆記体でかくときのつづりに対応するものが<math>\sin</math>であり、筆記体のcに対応するものが<math>\cos</math>であり、筆記体のtに対応するものが<math>\tan</math>である。
:[[画像:Sinの定義.png]][[画像:Cosの定義.png]][[画像:Tanの定義.png]]
:<math>\sin (90^\circ -x ) = \cos x</math>
:<math>\cos (90^\circ -x ) = \sin x</math>
:<math>\tan (90^\circ -x ) = \frac 1 {\tan x}</math>
:証明
<math>90^\circ-x</math>は、xという大きさの角を持った直角三角形があるとき、直角でもxでもない大きさの角である。(三角形の内角の和が<math>180^\circ</math>であるため。)このため、<math>90^\circ-x</math>に対する三角比は、xに対する三角比を定義するのに使った三角形を用いて表わすことが出来る。実際にこの定義を導入すると、確かにこの結果が成り立つ。<!-- 図 -->
=== 定義の拡張 ===
ここまでで、<math>0^\circ < r < 90^\circ</math>の条件を満たす角度rに対して、
[[File:Trigonometric Functions in Acute Angle Defined by Unit Circle.png|thumb|400px|left|単位円を使って定義された、鋭角における三角関数]]
:
次に、Aを円に沿って第2象限へ移動させる。先ほどと同様に、x軸の正の向きの半直線とOAによって作られる角をxとする。このとき<math>90^\circ < x < 180^\circ</math>となるため、角x側に直角三角形を作ることはできない。
75 ⟶ 47行目:
なお、実際には、この定義は任意の角 <math>0^\circ \leqq r < 360^\circ</math>に対して適用できるが、このことは[[高等学校数学II]]の学習範囲である。
また、図形的な性質を用いると、<math>0^\circ<x<90^\circ</math>のとき次の性質が成り立つ。
119 ⟶ 92行目:
が得られることを示せ。(<math>\sin^2 r\ ,\ \cos^2 r\ ,\ \tan^2 r</math>は、それぞれ
<math>(\sin r)^2\ ,\ (\cos r)^2\ ,\ (\tan r)^2</math>という意味である。)
* 解答
上で得たような直角三角形を考えると、
159 ⟶ 131行目:
:<math>\begin{align}
\cos ^ 2 r & = 1 - \sin ^2 r\\
\end{align}
</math>
166 ⟶ 138行目:
:<math>\begin{align}
\cos r & = \sqrt { \frac 8 9 }\\
\end{align}
</math>
172 ⟶ 144行目:
さらに、<math>\tan r=\frac{\sin r}{\cos r}</math>に代入すると、
:<math>\tan r = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{2\sqrt{2}}{3}}=\frac{\sqrt{2}}{4}</math>
となる。
* 問題
191 ⟶ 163行目:
* 備考
これらの角度の三角比は
== 正弦定理 ==
198 ⟶ 170行目:
\frac a {\sin A} = \frac b {\sin B} = \frac c {\sin C} = 2R
</math>
が成り立つ。ここで、 R は
* 導出
301 ⟶ 273行目:
== 余弦定理 ==
[[ファイル:Triangle with notations 2.svg|サムネイル]]次の三角形について、
<math>
c^2 =
</math>
313 ⟶ 282行目:
* 導出
点 <math>\mathrm{B}</math> から直線 <math>\mathrm{CA}</math> におろした垂線の足を点 <math>\mathrm{H}</math> とする。<!-- 図 -->
線分 <math>\mathrm{AH}</math> の長さについて
<math>A</math> が鋭角かつ <math>C</math> が鋭角のとき、 <math>\mathrm{AH} =\mathrm{CA} - \mathrm{CH} = b- a\cos C</math><!-- 図 -->
<math>A</math> が鈍角かつ <math>C</math> が鋭角のとき、<math>\mathrm{AH} = \mathrm{CH} - \mathrm{CA} = a\cos C - b</math><!-- 図 --><!-- 図 -->
<math>A</math> が鋭角かつ <math>C</math> が鈍角のとき、<math>\mathrm{AH} = \mathrm{AC} + \mathrm{CH} = b - a\cos C</math><!-- 図 -->
である。
<math>\mathrm{BH} = a\sin C</math>
三平方の定理より、
<math>c^2 = \mathrm{AB}^2 = \mathrm{BH}^2 + \mathrm{AH}^2 = (a\sin C)^2 + (b - a\cos C)^2 = a^2 + b^2 -2ab\cos C </math><!-- 図 -->
頂点A、Bについても同様にして求めることが出来る。
'''余弦定理の系'''
* 上の三角形について <math>\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}</math> である。
* <math>\mathrm{A}</math> が鋭角 <math>\iff \cos A > 0 \iff b^2 + c^2 > a^2</math>
* <math>\mathrm A </math> が鈍角 <math>\iff \cos A<0 \iff b^2 + c^2 < a^2</math>
* 問題例
357 ⟶ 334行目:
</math>
:<math>
=9 + 16 - 24 \times \frac 1 2
= 13
</math>
397 ⟶ 374行目:
</math>
:<math>
= \frac{9 + 13- 16}{2 \times 3 \times \sqrt{13}}
</math>
:<math>
417 ⟶ 394行目:
:<math>
\angle C = 180 {}^\circ
- 60{}^\circ -
a {}^\circ
</math>
:<math>
= 120{}^\circ -
a {}^\circ
</math>
439 ⟶ 416行目:
(ii)
:<math>
AB = 5, \angle A = 45 ^ \circ , C = 75^\circ
</math>
449 ⟶ 426行目:
余弦定理によって、
:<math>
AC ^2 = 4 ^2 + 7 ^2 - 2 \times 4 \times 7 \times \cos 60 ^\circ
</math>
:<math>
487 ⟶ 464行目:
であることを用いて、
:<math>
\angle C
= 60 ^ \circ
</math>
520 ⟶ 497行目:
== 図形の計量 ==
=== 三角形の面積公式 ===
三角形の2辺a,bとその間の角Cが与えられているとき、三角形の面積Sは、
548 ⟶ 515行目:
となる。
=== 内心と三角形の面積の関係 ===
三角形 <math>\mathrm{ABC}</math> の一辺の長さをそれぞれ <math>a,b,c</math> とし、三角形の面積を <math>S</math> 、内心の半径を <math>r</math> 、内心点を <math>\mathrm I</math> とする。
このとき、 <math>S = \frac{r}{2}(a+b+c)</math> が成り立つ。<!-- 図 -->
'''証明'''
<math>S = \triangle \mathrm{ABC} = \triangle \mathrm{ABI} + \triangle \mathrm{BCI} + \triangle \mathrm{CAI}</math> であるが、後者のそれぞれの三角形の面積は <math>\frac{ar}{2},\frac{br}{2},\frac{cr}{2}</math> である。これを代入すれば、求めていた式が得られる。
* 発展的な内容 ヘロンの公式
575 ⟶ 550行目:
== 演習問題 ==
{{DEFAULTSORT:こうとうかつこうすうかくI すけいとけいりよう}}
[[Category:高等学校数学I|すけいとけいりよう]]
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