「高等学校数学A/図形の性質」の版間の差分
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== メネラウスの定理 ==
[[ファイル:Meneraus' theorum.png|right]]
任意の直線 <math>l</math> と三角形 <math>\mathrm{ABC}</math> において、直線 <math>l</math> と直線<math>\mathrm{BC
:<math>{\mathrm{AF} \over \mathrm{FB}} \cdot {\mathrm{BD} \over \mathrm{DC}} \cdot {\mathrm{CE} \over \mathrm{EA}} = 1</math>
が成り立つ。
13 行
平行線による比の移動より、 <math>{\mathrm{AF} \over \mathrm{FB}} \cdot {\mathrm{BD} \over \mathrm{DC}} \cdot {\mathrm{CE} \over \mathrm{EA}} = {\mathrm{AF} \over \mathrm{FB}} \cdot {\mathrm{BF} \over \mathrm{GF}} \cdot {\mathrm{GF} \over \mathrm{FA}} = 1</math>
'''メネラウスの定理の逆'''
三角形 <math>\mathrm{ABC}</math> に対して、直線 <math>\mathrm{BC},\mathrm{CA}, \mathrm{AB}</math> 上に点 <math>\mathrm D, \mathrm E,\mathrm F</math> をとり、<math>\mathrm D, \mathrm E,\mathrm F</math> のうち三角形 <math>\mathrm{ABC}</math> の辺上にある点が0個あるいは2個で、かつ、<math>{\mathrm{AF} \over \mathrm{FB}} \cdot {\mathrm{BD} \over \mathrm{DC}} \cdot {\mathrm{CE} \over \mathrm{EA}} = 1</math> が成り立つとき、3点 <math>\mathrm D, \mathrm E,\mathrm F</math> は一直線上にある。
'''証明'''
2直線 <math>\mathrm{EF},\mathrm{BC}</math> の交点を <math>\mathrm D'</math> とする。このとき、メネラウスの定理より、<math>{\mathrm{AF} \over \mathrm{FB}} \cdot {\mathrm{BD'} \over \mathrm{D'C}} \cdot {\mathrm{CE} \over \mathrm{EA}} = 1</math> である。また、仮定より <math>{\mathrm{AF} \over \mathrm{FB}} \cdot {\mathrm{BD} \over \mathrm{DC}} \cdot {\mathrm{CE} \over \mathrm{EA}} = 1</math> である。これら2式より、<math>{\mathrm{BD} \over \mathrm{DC}} = \frac{\mathrm{BD'}}{\mathrm{D'C}}</math> である。これは、点 <math>\mathrm D</math> と点 <math>\mathrm D'</math> が一致することを示す。したがって、3点 <math>\mathrm D, \mathrm E,\mathrm F</math> は一直線上にある。
== チェバの定理 ==
[[ファイル:Ceva's theorem 1.svg|サムネイル]]
三角形 <math>\mathrm{ABC}</math> に
▲三角形 <math>\mathrm{ABC}</math> にたいし、任意の一点 <math>\mathrm O</math> と <math>\mathrm A,\mathrm B, \mathrm C</math> を結んだ直線がそれぞれ <math>\mathrm{BC}, \mathrm{CA}, \mathrm{AB}</math> と交わる点を <math>\mathrm D, \mathrm E, \mathrm F</math> とする。
このとき、 <math>\frac{\mathrm{AF}}{\mathrm{FB}} \cdot \frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DC}} \cdot \frac{\mathrm{CE}}{\mathrm{EA}} = 1</math> が成り立つ。
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平行線による比の移動より、 <math>\frac{\mathrm{AF}}{\mathrm{FB}} \cdot \frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DC}} \cdot \frac{\mathrm{CE}}{\mathrm{EA}} =
\frac{\mathrm{GC}}{\mathrm{HC}} \cdot \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{CG}} \cdot \frac{\mathrm{CH}}{\mathrm{AB}} =1</math>
'''チェバの定理の逆'''三角形 <math>\mathrm{ABC}</math> に対し、直線 <math>\mathrm{BC}, \mathrm{CA}, \mathrm{AB}</math> 上にそれぞれ点 <math>\mathrm D, \mathrm E, \mathrm F</math> があるとき、<math>\frac{\mathrm{AF}}{\mathrm{FB}} \cdot \frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DC}} \cdot \frac{\mathrm{CE}}{\mathrm{EA}} = 1</math> ならば、直線 <math>\mathrm{AF},\mathrm{BD},\mathrm{CE}</math> は一点で交わる。<!-- 図 -->
'''証明'''
直線 <math>\mathrm{BD},\mathrm{CE}</math> の交点を <math>\mathrm O</math> とおき、直線 <math>\mathrm{AO}</math> と直線 <math>\mathrm{BC}</math> との交点を <math>\mathrm F'</math> とおく。このとき、チェバの定理より、<!-- 図 --><math>\frac{\mathrm{AF'}}{\mathrm{F'B}} \cdot \frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DC}} \cdot \frac{\mathrm{CE}}{\mathrm{EA}} = 1</math> が成り立つ。また、仮定より、<math>\frac{\mathrm{AF}}{\mathrm{FB}} \cdot \frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DC}} \cdot \frac{\mathrm{CE}}{\mathrm{EA}} = 1</math> である。これら2つの式から、<math>\frac{\mathrm{AF}}{\mathrm{FB}} = \frac{\mathrm{AF'}}{\mathrm{F'B}}</math> が得られる。これは、点 <math>\mathrm F</math> と点 <math>\mathrm F'</math> が一致することを示す。よって、直線 <math>\mathrm{AF},\mathrm{BD},\mathrm{CE}</math> は一点で交わる。
== 三角形の性質 ==
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|}
* チェバの定理の逆より、三角形の3本の中点は一点で交わる。
[[File:Gravity center triangle ABC.svg|thumb|]]
<math>\triangle \mathrm{ABC}</math> について、その重心を <math>\mathrm G</math> 、 <math>\mathrm{BC},\mathrm{CA}</math> の中点をそれぞれ <math>\mathrm D, \mathrm E</math> とおく。このとき、三角形 <math>\mathrm{ACD}</math> 及び、直線 <math>\mathrm{BGE}</math> に対してメネラウスの定理を用いることにより、
<math>\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{EC}} \cdot \frac{\mathrm{CB}}{\mathrm{BD}} \cdot \frac{\mathrm{DG}}{\mathrm{GA}} = 1</math> したがって、 <math>\frac{\mathrm{DG}}{\mathrm{GA}} = \frac{1}{2}</math> である。これより、重心は中線を2:1に内分することが分かる。
<!--
メネラウスの定理によらない証明
△ ABC を取りBC,ACの中点をそれぞれ D, E とする。また、線分AD,BEの交点を G とする。ここで、点Eから線分ADに向かって辺BCに平行な線分を取り、
線分ADとの交点を L とする。
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となり、確かに G はADを2:1に内分する点になっている。
同様にして、頂点Cから線分ABにむかって中線AKを引き、中線AKとADとの交点をHとすると、
上記の証明と同様の論理でADは点Hにより 2:1 に内分される。
内分の比率が同じなので、点Hと点Gは一致する。--->{{-}}
[[File:Gravity center triangle ABC.svg|thumb|]]
三角形の3つの中線の交点のことを、その三角形の '''重心''' （じゅうしん）という。
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[[File:Perpendicular Bisector.svg|thumb|]]
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{| style="border:2px solid yellow;width:80%" cellspacing=0
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