「高等学校数学A/場合の数と確率」の版間の差分

異なるn個の空箱にr個のものを入れる場合の数を重複組み合わせといい、 <math>_n \mathrm H_r</math> で表す。

重複組合せについて次のように考察する。

<math>x_1,x_2,\cdots,x_n,r</math> を非負整数とするときし、方程式 <math>x_1+x_2 + \cdots +x_n = r</math> の解の個数について考える。この解の個数は <math>x_1,x_2,\cdots,x_n</math> に <math>r</math> 個の1を分配する場合の数と考えることができるので、重複組み合わせの定義から、<math>_n \mathrm H_r</math> である。

また、これの方程式の非負整数解の個数は、r個の○にn-1個の区切りを置く場合の数とも考えられる。(つまり、○○○...○○(r個)にn-1個の区切り｜を並べると○｜○○｜...○｜○のようになる。ここで、左から順に区切りで区切られた○の個数をそれぞれ、<math>x_1,x_2,\cdots,x_n</math> とすると、これは方程式の解となる。)

この場合の数は、r個の○とn-1個の区切り｜を並べえる場合の数なので、<math>_{n+r-1} \mathrm C _r</math> である。よって <math>_n \mathrm H_r = _{n+r-1} \mathrm C_r</math> が成り立つ。