「高等学校数学C/平面上の曲線」の版間の差分
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==== 楕円と双曲線====
=====楕円=====
楕円は平面状にある2定点の距離の和が一定になるような点の集合からなる曲線である。基準となる2定点を焦点という。楕円は代数的に
<math>\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1</math>(''a'', ''b'' は正の定数)
で表される。''x''軸との交点は<math>(a,0)</math>、<math>(-a,0)</math>、''y''軸との交点は<math>(0,b)</math>、<math>(0,-b)</math>となる。aとbが同一の数であるときは円になる。
導出
2つの焦点を<math>(c,0)</math>、<math>(-c,0)</math>とし、2定点の距離の和を<math>2a</math>とすると、
<math>\sqrt{(x-c)^2+y^2}+\sqrt{(x+c)^2+y^2}=2a</math>
<math>\sqrt{(x-c)^2+y^2}=2a-\sqrt{(x+c)^2+y^2}</math>
両辺を2乗して整理すると
<math>a\sqrt{(x+c)^2+y^2}=a^2+cx</math>
両辺を2乗して整理すると
<math>(a^2-c^2)x^2+a^2y^2=a^2(a^2-c^2)</math>
ここで<math>a^2-c^2=b^2</math>と置き換えると
<math>b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2</math>
両辺を<math>a^2b^2</math>で割ると
<math>\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1</math>
が導かれる。
<!-- 例えば、
<math>2 x^2 + y^2 = 1</math>
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