「物理数学I 解析学」の版間の差分
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:<math>I^2=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}dx \int_{-\infty}^{\infty} e^{-y^2}dy</math>
::<math>=\iint_{D} e^{-x^2-y^2}dxdy</math>（<math>D=\left\{(x,y)|-\infty<x<\infty,-\infty<y<\infty \right\}</math>）
::<math>=\iint_{D'} e^{-r^2} r dr d\theta</math> （直交座標から極座標に変換、<math>x=r\cos \theta,y=r\sin\theta,dxdy\to rdrd\theta</math>、<math>D'=\left\{(r,\theta)|0\le r <\infty,0\le\theta\le 2\pi\right\}</math>）
::<math>=\int_{0}^{\infty}re^{-r^2}dr \int_{0}^{2\pi}d\theta</math>
::<math>=\frac{1}{2}\times 2\pi</math>
::<math>=\pi</math>
:<math>I=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}dx=\sqrt{\pi}</math>
また:<math>\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2}dx</math>の積分は
:<math>\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2}dx=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-t^2}\frac{1}{\sqrt{a}}dt</math>（<math>\sqrt{a}x=t</math>と置いて置換積分）
::<math>=\frac{1}{\sqrt{a}}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-t^2}dt</math>
::<math>=\sqrt{\frac{\pi}{a}}</math>
となる。
====ガンマ関数====
| |||