「高等学校数学II/図形と方程式」の版間の差分
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M フォーマットを簡素化しました。練習問題を少し減らしました。 |
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14 行
*[[画像:座標で点.png]]
このように平面上では、2つの座標を指定することで点を表すことができる。
====== 内分点と外分点======
ある点Aと、ある点Bをそれぞれ<math>
A(x _0,y _0),B(x _1,y _1)▼
▲A(x _0,y _0)
</math>
で表わす。このとき線分AB上でその長さを
a : b
</math>
32 ⟶ 27行目:
また、直線AB上の点でかつ、線分AB上の点ではない点で、点Aからの距離と点Bからの距離が、
a:b
</math>
41 ⟶ 36行目:
**問題
A(0,0),B(1,0)
</math>
としたとき、ABを3:1に内分する点、4:1に内分する点、3:2に外分する点、2:3に外分する点、1:4に外分する点をそれぞれ求めよ。
53 ⟶ 45行目:
内分点についてはそれぞれの点からの距離の比を用いて、それぞれの点からの距離を定めればよい。線分ABの長さは1であり、それらを3:1に分けるのであるから、内分点をMとしたとき、
:<math>
AM = \frac 3 4,MB = \frac 1 4
</math>
が得られる。よって、内分点は、
68 ⟶ 57行目:
である。
外分点(Mとする。)は線分AB上にある点ではなく、しかし、AMは、MBより長いことが知られているので、<math>
B(1,0)
</math>
よりも右側にある点である。ここで、ABの長さは、3:2という割合では、1に対応するはずである。ここで、ABの長さ自身も1であるので、BM,AMについての長さは、<math>
2,3
</math>
にそれぞれ定まったわけである。このような点は、<math>
M(3,0)
</math>
である。同様にして、ABを2:3に外分する点は、<math>
(-2,0)
</math>
、ABを1:4に外分する点は、<math>
(-\frac 1 3,0)
</math>
98 ⟶ 82行目:
:<math>
\frac {-b x _0 + a x _1} {a -b}
=\frac {b x _0 - a x _1} {-a +b}
</math>
137 ⟶ 119行目:
が得られるだけで、同じ式である。
2次元の場合には、一般に点と点との位置関係は、座標軸に平行でなく、それらの距離の内分は複雑になるように思える。しかし、実際には、内分点や外分点を計算するには、上の公式をx,y▼
▲2次元の場合には、一般に点と点との位置関係は、座標軸に平行でなく、それらの距離の内分は複雑になるように思える。しかし、実際には、内分点や外分点を計算するには、上の公式を
の両方向に対して用いればよい。これは、2点をつなぐ線が直線であるので、その直線上である点からの距離が一定の割合となる点をいくつか取ったとき、その点と元の点のx軸方向の座標の変化の割合とy軸方向の座標の変化の割合と直線自身の長さの変化の割合はそれぞれ等しくなるからである。
174 ⟶ 152行目:
</math>
3:1に内分、外分する点を求めよ。
**解答
231 ⟶ 208行目:
y- y_0 = a(x- x_0)
</math>
で与えられる。これは、傾きがyの変化分<math>/</math>xの変化分で表わされ、<math> y-y_0 </math>,<math> x-x_0 </math>
▲<math> y-y_0 </math>,<math> x-x_0 </math>がまさしくy,xそれぞれの変化分そのものであることによる。
2点 <math>(x_0,y_0)</math> , <math>(x_1,y_1)</math> を通る直線は傾きが <math>\frac{y_0-y_1}{x_0-x_1}</math> で与えられることを用いると、
<math>
y-y_0 = \frac{y_0-y_1}{x_0-x_1}(x-x_0)
254 ⟶ 228行目:
(iii)
2点(4,3) ,(5,7)を通る直線。
(
2点(7,-3) ,(-2,-4)を通る直線。
**解答
287 ⟶ 253行目:
</math>
(iii)
:<math>
\left[ y=4\,x-13 \right]
</math>
(
:<math>
\left[ y={{x-34}\over{9}} \right]
</math>
となる。
また直線の方程式は一般
====ある点から直線への距離====
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