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計算でも確かめてみましょう。
''a'' <''b'' となる2つの正の数''a''と''b''を考えます。つまりここでは、''b''－''a'' >0 です。このとき、<math>\sqrt{b}</math>－<math>\sqrt{a}</math> >0 が成り立つことを確かめましょう。定義から、<math>\sqrt{b}</math>＋<math>\sqrt{a}</math> >0 は明らかなので、<math>\sqrt{b}</math>－<math>\sqrt{a}</math>の符号と、(<math>\sqrt{b}</math>－<math>\sqrt{a}</math>)(<math>\sqrt{b}</math>＋<math>\sqrt{a}</math>)の符号は一致します。ところが、(<math>\sqrt{b}</math>－<math>\sqrt{a}</math>)(<math>\sqrt{b}</math>＋<math>\sqrt{a}</math>)＝
(<math>\sqrt{b}</math>)^2－<sup>2</sup>－(<math>\sqrt{a}</math>)^2＝<sup>2</sup>＝''b''－''a'' >0
となって、この値の符号は正です。従って、<math>\sqrt{b}</math>－<math>\sqrt{a}</math>の符号は正であることが示されました。
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