「高等学校数学A/図形の性質」の版間の差分
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円は常に存在するわけではない。
一般に円に内接するような四角形に関しては以下の性質が成り立つ。
{| style="border:2px solid yellow;width:80%" cellspacing=0
|style="background:yellow"|'''円に内接する四角形の性質(1)'''
|-
|style="padding:5px"|
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中心角の和は<math>360^\circ</math>に対応し、同じ弧に対応する円周角の和は
<math>180^\circ</math>に対応するのである。
また、円に内接する四角形に関して以下の性質も成り立つ。
{| style="border:2px solid yellow;width:80%" cellspacing=0
|style="background:yellow"|'''円に内接する四角形の性質(2)'''
|-
|style="padding:5px"|
円に内接する四角形において、1つの内角は、それに向かい合う内角の隣にある外角に等しい。
|}
*導出
円に内接する四角形ABCDにおいて、上の定理より
:<math>
\angle A + \angle C = 180^\circ
</math>
また、頂点Cにおける外角を <math>\angle DCE</math> とすると、<math>\angle DCE + \angle C = 180^\circ</math> であるから
:<math>
\angle A = \angle DCE
</math>
円に内接する四角形の性質の逆について考えてみよう。
{| style="border:2px solid yellow;width:80%" cellspacing=0
|style="background:yellow"|'''四角形が円に内接する条件'''
|-
|style="padding:5px"|
(1) 向かい合う内角の和が<math>180^\circ</math>の四角形は、円に内接する。
(2) 1つの内角が、それに向かい合う内角の隣にある外角に等しい四角形は、円に内接する。
|}
*導出
'''(1)の証明'''
四角形ABCDで、
:<math>\angle B + \angle D = 180^\circ</math> …(I)
とする。
<math>\triangle ABC</math>の外接円Oを書き、円Oに内接する四角形ABCD'を作ると
:<math>\angle B + \angle D' = 180^\circ</math> …(II)
(I),(II)より
:<math>
\angle D = \angle D'
</math>
したがって、円周角の定理の逆から、点Dはこの円Oの周上にある。
よって、四角形ABCDは円に内接する。
'''(2)の証明'''
四角形ABCDで、頂点Cにおける外角を <math>\angle DCE</math> として、
:<math>
\angle A = \angle DCE
</math>
とする。
:<math>
\angle DCE + \angle C = 180^\circ
</math>
であるから
:<math>
\angle A + \angle C = 180^\circ
</math>
四角形が円に内接する条件(1)より、向かい合う内角の和が<math>180^\circ</math>であるから、四角形ABCDは円に内接する。
====方べきの定理====
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