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算数と数学の一番の違いは、数学は文字を使い、より一般的に物事を考えると言うことである。
更に数学では証明というものが最も重要視される。
また、算数では正の数しか扱わなかったが、数学では数の世界をもっともっと拡張する。 では、これらの算数と数学の橋渡しになるような部分を説明したい。
=== 正負の数と文字 ===
数学では、数を一般的に表すときに文字を使う。
<!--＜メモ：絶対値の説明を入れる＞
＜メモ：単項式、多項式、右辺、左辺などの用語説明＞
＜メモ：方程式の文章題を解けるような理論＞-->
== 初等代数学 ==
この初等代数学は日本の新学習指導要領の中一内容（正負の数、文字式、一次方程式の基本）程度のことは説明無しで使うことがある。これは、体系的に数学を説明することを重んじている為である。
ここで説明し切れなかった部分は、基礎数学のところでで説明したいと考えている。
=== 方程式と数の体系 ===
==== 方程式と数の体系の関係 ====
歴史的には、数は自然数から生まれた。これはものを数える時にごく普通に使用する数であるから、納得できると思う。
一次方程式の範囲（係数は有理数とする）では、正負の有理数の範囲で必ず解を持つ。しかし、二次方程式以上になると有理数では解を持たないものが存在する。そのことについては後々説明するつもりである。
==== 方程式とは？ ====
一次方程式の説明に入る前に、そもそも方程式とは何かについて考えてみよう。
方程式とは、二つの式が等式で結ばれている時に、その等式を満たすような文字（主に<math>x</math>など）の値を求めることである。
ここでよく考えると、単に等式と言っても3つの使い方がある。'''方程式'''、'''恒等式'''、'''定義式'''の3つである。それぞれの例を見ていこう。
; 方程式
: 方程式において、等式を満たすような文字の値を見つけることを'''方程式を解く'''と言う。
: 例： <math>x^2+5x+6=0</math> と言う式は<math>x=-2,-3</math>の時にのみこの等式が成り立ち、その他の数を代入してもこの等式は成り立たない。
; 恒等式
: 恒等式とは文字にどんな値を代入しても、成り立つ等式のことである。
: 例： <math>(a+b)^2=a^2+2ab+b^2</math> と言う式は<math>a</math>や<math>b</math>にどんな数を代入しても成り立つ。（もちろん、左右の<math>a</math>同士、<math>b</math>同士は同じ数を代入する。）
; 定義式
: 定義式とは、ある文字をどのような数にするかと言うようなものである。
: 例： <math>a=5</math> のような式である。この式は<math>a</math>が5であると言うことを示している。
また、方程式の種類に関する用語を説明しておく。
; n次方程式
: n次方程式とは最高次数がn次の方程式を言う。つまり、最高でn個の文字が掛け合わされている方程式のことを言う。
: 例： <math>3x+2=5</math> は1次方程式である。 <math>x^3-2x^2-3x+4=0</math> は3次方程式である。
; n元方程式
: 方程式の中にn種類の文字が使われているような方程式である。
: 例：3x+2y=5 は2元方程式である。<math>x^2+2y-3z=0</math> は3元方程式である。
: また、方程式のなかで、値を求めたい数のことを'''未知数'''と言う。
==== 等式の性質 ====
等式の性質には次のようなものがある。
a=b のとき次のことが成り立つ。（cは定数）
# <math>b=a</math>, つまり、右辺と左辺を入れ替えても等式は成り立つ。
# <math>a+c=b+c</math> , <math>a-c=b-c</math> つまり、等式の両辺から同じものを足しても、引いても等式は成り立つ。
# ac=bc <math>{a \over c}={b \over c}</math>（ただし
これによって、与えられた等式をより簡単にすることが出来る。
たとえば a+b=C のような式は、両辺からbを引くことによって (a+b)-b=c-b ⇔ a=c-b と言うように変形することが出来る。（注意：⇔はこれの左側のことが成り立てば、右に書かれていることも成り立つ。右側のことが成り立てば、左に書かれていることも成り立つ。と言う意味である。）
この操作を良く見ると、左辺に足されていたbが右辺から引かれている。また、逆の操作をすれば、左辺から引かれていたbが右辺に足されている。
このように、足されているもの、または引かれているもの（すなわち、単項式）の符号を逆にして、反対側に移動するような操作を'''移項'''と言う。
移項は方程式を解く上でもっとも重要な考え方である。
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例：<math>3x+5=0</math> <math>{(2a+5) \over 3}+{(5a+8) \over 4}=10</math>
2つ目の例は複雑だが、よく見ると文字は1つ（a）しか使われておらず、次数も1であるので、1元1次方程式である。
また、1元1次方程式の性質として、整理すると ax+b=0 の形に整理できる。
この形に整理できれば、移項して両辺をaで割り、 <math>x=-{b \over a}</math> となる。これがこの方程式の解である。
すなわち1次方程式を解くことは、元の方程式を ax+b=0 の形に変形することに帰着される。
具体的な例で、方程式の解き方を学んでみよう。
; 例1
: <math>3x-5=1</math> -5を移項
: <math>3x=6</math> 両辺を3で割る
: <math>x=2</math>
; 例2
: <math>3(x+2)-4(x-3)=0</math> 括弧をはずす
: <math>3x+6-4x+12=0</math> 同類項をまとめる
: <math>-x=18</math> 両辺に-1を掛ける
: <math>x=-18</math>
; 例3
: <math>{4x-2 \over 3}-{2x+5 \over 5}=2</math> 両辺に15を掛けて、分母を払う
: <math>5(4x-2)-3(2x+5)=30</math> 括弧をはずす
: <math>20x-10-6x-15=30</math> 同類項をまとめる
: <math>14x-25=30</math> -25を移項する
: <math>14x=55</math> 両辺を14で割る
: <math>x={55 \over 14}</math>
これらが基本的な方程式の解き方である。これよりも難しい方程式は計算が煩雑なだけか、分母に未知数が来るなどの多少特殊な方程式かのどちらかである。
方程式の場合は、得られた答えを実際にxに当てはめてみることで検算ができる。
=====特殊な1元1次方程式=====
では、計算が煩雑なものではなく、特殊な難しさを持った1元1次方程式を紹介しよう。
まずは、分母に未知数が来るタイプである。
; 例1
: <math>{3 \over x}+{5 \over 2x}=1</math> 両辺にxをかける
: <math>3+{5 \over 2}=x</math> 左辺を計算し、右辺と左辺を入れ替える
: <math>x={11 \over 2}</math>
分母に未知数がきているものは扱いにくいことが多いので、両辺に適当な数（文字）を掛け、分母から未知数を払う。
<!--＜メモ：絶対値を含む方程式＞-->
これで1元1次方程式の解説を終了する。
これから、より難しい方程式を学んでいくわけだが、難しい方程式には次の2種類がある。
* 未知数が増える。
* 次数が高くなる。（次数は高い、低いであらわす。）
未知数がどれだけ増えても、一定のとき方に従っていけば、計算が煩雑になるだけで、本質的な難しさはあまりない。（多元
一方、次数は1増えるごとに、難易度が格段に上がっていく。たとえば、4次方程式までは解の公式が存在するが、5次以上の方程式になると公式は存在しない。
ちなみに、複素数と呼ばれる数の範囲では、n次方程式は一般にn個の解を持つことが知られている。（厳密に言えば、少し言葉足らずだが）
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例：3x+2y=5,5x+3y=9<math>,{ 3a+4b \over 5}+{ 7a-5b \over 11}=13</math>
三つ目の例も複雑だが、よく見ると、文字は2つで（aとb）次数も1なので、2元1次方程式である。
他にも、x=5とy=-5の時も確かに方程式を満たす。また、x=0とy=<math>{5 \over 2}</math>なども方程式を満たす。
なので、もうひとつ、例の方程式を追加し、それを満たすxとyの値を調べてみる。
<math>\left\{ \begin{matrix} 3x+2y=5 \\ 5x+3y=9 \end{matrix}\right.</math>を同時に満たすようなxとyの値はx=3とy=-2である。
この例から予想できるように、未知数が2つの2元1次方程式がひとつだけ与えられた場合、それの解は無数に存在するが、2つの2元1次方程式が2つ与えられた時、解はただひとつに定まる（一部例外もある）。
また、一般に未知数がn個の方程式がn個与えられた時は、解はただ1つに定まる（一部例外もあるが）。
2つ以上の方程式がセットになったようなものを'''連立方程式'''という。
では、どのように連立方程式をどのように解くか説明しよう。
=====代入法=====
'''代入法'''とは、代入により解く方程式である。
説明よりも具体的に見てみよう。
連立方程式<math>\left\{ \begin{matrix} 3x-y=5 \\ 5x+3y=-1 \end{matrix}\right.</math>を解くことを考える。
一つ目の式を移項してx=（yの式）もしくは、y=（xの式）の形に直す。（この形以外の変形もある）
この場合はy=（xの式）の形に直して、y=3x-5になる。
これをもうひとつの式に代入する。代入とは、いわばあるものを同じほかのもので置き換えることである。
この場合はy=3x-5よりもちろんyと3x-5は等しいので置き換えることができる。このような操作が代入である。
もうひとつの式である、5x+3y=-1のyを3x-5で置き換えると、
5x+3(3x-5)=-1
となる。このとき、括弧をつけるのを忘れないようにする。<!--＜メモ：その理由＞-->
後は、上の1元1次方程式を解き、x=1を得る。これをどちらかの方程式に代入する。
つまり、2式のどちらかのxをそれと等しい1で置き換える。
すると、3-y=5と5+3y=-1の式を得る。（実際はどちらか一方だけでいいが、確認の意味で２式ともに代入する事もある。）
どちらの1元1次方程式を解いてもy=-2を得る。
よって答えは、x=1とy=-2である。実際に2式とも等式が成り立つことを確認して欲しい。
=====加減法=====
<math>\left\{ \begin{matrix} 3x+y=5 \\ 5x+3y=7 \end{matrix}\right.</math
次は、'''加減法'''という連立方程式の解き方を説明する。
加減法とは、与えられた2式の加減を行って、1次方程式に帰着させることによって解く。
実際に上の方程式を解いてみる。一つ目の3x+y=5を①、２つめの5x+3y=7を②とすると、
①の式を３倍して、②の式を引くと・・・
まず、3x+y=5の両辺に3を掛けて、
9x+3y=15
ここから、②の式を引く
(9x+3y)-(5x+3y)=15-7
4x=8
x=2
これを元のどちらかの式のxに代入して、yの値を求める。
6+y=5と10+3y=7を得る。どちらの方程式を解いても、y=-1を得る。
よってこの方程式の答えはx=2とy=-1である。
=====2元1次方程式について=====
まず答えの書き方について説明する。
たとえば、答えがx=1とy=-2のとき、次のように書く。
*<math>\left\{ \begin{matrix} x=1 \\ y=-2 \end{matrix}\right.</math>
*<math>(x,y)=(2,-1)</math>
160 ⟶ 233行目:
このうちどの書き方でもよい。
次は、代入法と加減法で答えが一致することを確認する。
連立2元1次方程式を一般的に表すと、次のようになる。
<math>\left\{ \begin{matrix} ax+by=c \\ dx+ey=f \end{matrix}\right.</math>（a,b,c,d,e,fは定数）
この方程式を実際に代入法と加減法で解いてみる。あまり詳しい説明はしない。また、どちらの解き方も上の式を①、下の式を②とする。
'''代入法で解いた時'''
①⇔<math>x=-{b \over a}y+{c \over a}</math>
これを②に代入して、
<math>-{bd \over a}y+{cd \over a}+ey=f</math>⇔<math>{ae-bd \over a}y={af-cd \over a}</math>⇔<math>y={af-cd \over ae-bd}</math>
<math>y={af-cd \over ae-bd}</math>を①に代入して、
<math>ax+b{af-cd \over ae-bd}=c</math>⇔<math>ax={(ace-bcd)-(abf-bcd) \over ae-bd}={ace-abf \over ae-bd}</math>⇔<math>x={ce-bf \over ae-bd}</math>
したがって、<math>\left\{ \begin{matrix} x={ce-bf \over ae-bd} \\ y={af-cd \over ae-bd} \end{matrix}\right.</math>
'''加減法でといた時'''
①⇔<math>adx+bdy=cd</math>…③
②⇔<math>adx+aey=af</math>…④
③-④より<math>(bd-ae)y=cd-af</math>⇔<math>y={cd-af \over bd-ae}</math>
また、①⇔<math>aex+bey=ce</math>…⑤
②⇔<math>bdx+bey=bf</math>…⑥
⑤-⑥より<math>(ae-bd)x=ce-bf</math>⇔<math>x={ce-bf \over ae-bd}</math>
したがって、<math>\left\{ \begin{matrix} x={ce-bf \over ae-bd} \\ y={cd-af \over bd-ae} \end{matrix}\right.</math>
yの値が代入法の時と少し違うようにも見えるが、どちらかの分母分子に-1をかけると2つは一致する。つまり、どちらのyの値も等しいことが分かる。
====n元1次方程式====
n元1次方程式とは、未知数がn個ある1次の方程式のことである。
基本的にn元1次方程式はn種類の式があれば解は一意に定まる。
たとえば3元1次連立方程式は次のようになり、解は一意に定まる。
<math>\left\{ \begin{matrix} x+y+z=2 \\ 2x-5y+2z=10 \\ 3x+2y+z=2 \end{matrix}\right.</math>
これの解は(x,y,z)=(-1,2,1)のみである。
3つの式があれば解はただひとつに定まるが、どれか1つの式だけや2つの式では解は無数に存在する。
このような方程式の解き方を簡単に説明しよう。基本的には連立2元1次方程式と同じような方法（代入法、加減法）を繰り返し、未知数を1つずつ減らしていく。そうして、1元1次方程式に帰着して解く。
====n元1次方程式と行列====
<!--＜メモ：後ほど執筆＞-->
====2次方程式====
方程式で、もっとも次数が高い項が2次の方程式を'''2次方程式'''と言う。
たかが次数が1つ増えただけと思うかもしれないが、それだけで方程式の難易度が大幅に上がる。
実際にいろいろな2次方程式を見てみよう
例1 <math>x^2=4</math>
この2次方程式を解くことを考える。2乗して4になる数をxに代入するとこの等式を満たすので、それが解になる。
そのような数を探すとすぐに2は思いつくと思う。しかし、よく考えると-2も解になる。
よってこの方程式の解はx=±2となる。
これをよくよく考えてみよう。普通の1次方程式は解は1つだけだったが、2次方程式は解が2つある。
しかし、いつでも解が2つとは限らない。1つの時や、1つもないときがある。解をどの範囲で考えるかによって変わってくる。
たとえば、<math>x^2=0</math>の解は、例1と同様に考えるとx=±0となりそうだが、+0も-0も同じものなので、まとめて解はx=0のみとなる。
さらに、<math>x^2=-4</math>や<math>x^2=2</math>などは、分数の世界では解を持たない。しかし、これらに対しても解を持つようにする為に、新たな数を作り出す。
では、2乗すると2になるような数を考えてみよう。
何もそのような数を考えるような手段を持ち合わせていないので、しらみつぶしに調べてみよう。
まずは整数から、
* 1は二乗すると1となり、2よりも小さい
* 2は二乗すると4となり、2よりも大きい
よってこの数は1と2の間にある。
1.～と言うような数をまずは0.1単位で見てみる
* 1.1は二乗すると1.21となり、2よりも小さい
* 1.2は二乗すると1.44となり、2よりも小さい
* 1.3は二乗すると1.69となり、2よりも小さい
* 1.4は二乗すると1.96となり、2よりも小さい
* 1.5は二乗すると2.25となり、2よりも大きい
よって、この数は1.4と1.5の間にある。
1.4～となるような数を0.01単位で見てみる・・・・・
これを繰り返すと求める数は1.41421356・・・となる。
この数では、数は何の規則性もなしに並んでいる。なので、このような数をまともに扱うのは面倒である。
そこで、このような数を'''√２'''と書くことに決める。
この数は分数で表すことはできず、小数で表したとき、循環することなく無限に続く。
=== 方程式と不等式 ===
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=== 平面幾何 ===
=== 空間幾何 ===
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=== 座標平面 ===
=== 図形と式 ===
238 ⟶ 351行目:
===確率論===
=== 微分積分 ===
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[[Category:数学|しよとうすうかく]]
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