「有限群論序論」の版間の差分
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が成り立つ。これは、''e''<sub>G</sub>が''H''の単位元であることも示しており、''H''は群だから、単位元を含むので、''e''<sub>G</sub> ∈ ''H''。
群の部分集合が部分群であることを判定するには、定義に戻ってもよいが、下のような簡便な判定法がある。
群''G''の空でない部分集合''H''が部分群あるための必要十分条件は
''a'' ∈ ''H'' , ''b'' ∈ ''H'' ⇒ ''a'' · ''b''<sup>-1</sup> ∈ ''H''
必要性は明らかだろう。十分性は以下のように示される。''a'' ∈ ''H''とすると、条件より、''a'' · ''a''<sup>-1</sup> = ''e'' ∈ ''H''である。 よって''a'' ∈ ''H''かつ''e'' ∈ ''H''なので、 条件より''e'' · ''a''<sup>-1</sup> = ''a''<sup>-1</sup> ∈ ''H''である。最後に、''a'' ∈ ''H'' , ''b'' ∈ ''H''とすると、''b'' ∈ ''H''より''b''<sup>-1</sup>∈ ''H''なので、''a'' · ( ''b''<sup>-1</sup> ) <sup>-1</sup> = ''a'' · ''b'' ∈ ''H''。よって''H''は''G''の部分群である。
===正規部分群===
群''G''の部分群''H''がさらに下の条件を満たすとき、''H''は正規部分群であるという。
''g'' ∈ ''G'' , ''h'' ∈ ''H'' ⇒ ''g'' · ''h'' · ''g''<sup>-1</sup> ∈ ''H''
===正規部分群による商群===
===群の準同型定理===
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