「中学数学3年 式の計算」の版間の差分

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Ninomy (トーク | 投稿記録)
文体を常体に統一、文字式を用いた論証を追加
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==展開公式==
===(''x'' + ''a'')(''x'' + ''b'') の展開===
<math>(x+a)(x+b)</math> を展開してみましょう。
 
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このような形の展開公式を、'''平方公式'''といいます。なぜなら式の 2 乗すなわち平方の形の式を展開する公式になっているからである
 
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75 行
|}
 
このような、同じ数についての和と差との積を求めることができる公式を、'''和と差の積'''といいます
 
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86 行
==因数分解==
===素因数分解===
最初に、この問題を考えてみましょう。
:;問題
:48 を 1 より大きい 2 つの整数の積であらわしなさい。
これは例えば 48 = 8 &times; 6 とできるので、これが1つの答えである
 
このように、「整数がいくつかの整数の積の形に表すことができるとき、その 1 つ 1 つの数」のことをその数の'''因数'''といいます。この問題は 8 と 6 が 48 の因数といえます言うことができる。また、48 はほかにも 4 &times; 12 とか、3 &times; 16 とあらわすことができます。だからるため、4 と 12 も因数といえるし、3 と 16 も因数といえます
 
さらに、8 と 6 はどちらももっと小さい数の積に表すことができます
:8 = 2 &times; 2 &times; 2, 6 = 2 &times; 3
このことから、48 は次のようにもあらわせまことができる
:2 &times; 2 &times; 2 &times; 2 &times; 3
この式で、2 や 3 はこれ以上小さい自然数の積であらわすことはできませんない。このような「その数自身と1以外に自然数の因数を持たない数」を、'''素数'''といいます。ただし、'''1 は素数には入りませんらない'''
 
<!-- 発展として、「なぜ1は素数でないか」「素数の見つけ方」といったコラムを入れても面白いかもしれません。Ninomy -->
また、上の式の 2 や 3 のような「素数の因数」を'''素因数'''、「自然数を素数の積として表すこと」を'''素因数分解'''といいます。例題にある 48 を素因数分解したときの結果は、
 
また、上の式の 2 や 3 のような「素数の因数」を'''素因数'''、「自然数を素数の積として表すこと」を'''素因数分解'''といいます。例題にある 48 を素因数分解したときの結果は、
:<math>48=2^4 \times 3</math>
と言うように表します。
 
===因数分解===
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この式の右辺は分配法則を用いて展開すると元の式に戻るため、正しく因数分解されていることがわかる。
 
このように共通因数を取り出して因数分解することを「共通因数のくくりだし」ということがある。'''因数分解をするときには初めに共通因数のくくりだしができるかどうか考えることが重要である'''
 
====乗法公式を利用する====
それでは、共通因数がなかったらどうすればよいのだろうか。
 
ここで、因数分解とは何だったかを思い出してみよう。因数分解とは展開の逆の操作だったはずである。だから、展開乗法公式を逆に利用して、因数分解ができないか考えればよい。展開公式も乗法公式の一部である。
 
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==利用==
展開や因数分解は非常に重要で、これから高校、大学と使用することになるでしょう。また、高校に入れば新たに習う乗法公式もある。しかし基本となるのは今でに学習した公式や、その考え方である。ここでは、ここまでの公式や考え方を用いて、ある形の計算を簡単に行う方法を学ぶ
 
=== 数式の計算 ===
たとえば、いままでは
;例題:<math>51 \times 49</math>を計算せよ。
 
などの計算は、筆算でやっていたことでしょう。<br>
いままではこのような計算は、筆算でやっていたことだろう。しかし、展開や因数分解を使用することで非常に簡単に速く正確に解く事が出来ますできる<br>
 
では、この式をこのように変形してるとどうでしょう。
:<math>(50 + 1) \times (50 - 1)</math>
これは、どこかで見た事があるはずです。そう、
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|||<math> = 2499</math>
|}
嘘だと思うなら電卓でやって見も計算しくださいみよう。きっと、正解するはずである
 
=== 文字式の計算 ===
数の計算だけでなく、文字式の計算でも展開や因数分解の考え方を利用して楽に計算することができる。
;例題:''x'' = 11, ''y'' =7 のとき、4(3''x'' + 2''y'' ) - 2(''x'' - ''y'' )の値を求めよ。
文字式に直接数を代入して、
: <math>4(3\times 11 + 2\times 7 ) - 2(11 - 7 )</math>
を計算してもよいが、少し面倒である。そこで、先に展開や因数分解を利用して文字式を簡単な形に変形しておくと、代入の回数が減り、式の形も単純になって計算が簡単になる。
<math>\begin{matrix}
4(3x+2y)-2(x-y) &=& 12x+8y-2x+2y \\
&=& 10x+10y \\
&=& 10(x+y) \\
&=& 10(11+7) \\
&=& 10\times 18 \\
&=& 180
\end{matrix}</math>
 
また、この考え方は単純な計算だけではなく、数や図形や関数の性質を調べるときにも利用することができる。
;例題:「連続する3つの自然数の和は、3の倍数になる」ことを示せ。
このような証明問題はどのように考えていけばいいのだろうか。
 
まず、「連続する3つの自然数」を文字をつかってあらわしてみよう。隣り合う自然数はちょうど1だけ大きいか、1だけ小さいので、たとえば''n''を自然数として、
: ''n'', ''n''+1, ''n''+2
と表すことができる。他にも、''n''を''2より大きい整数''として、
: ''n''-1, ''n'', ''n''+1
と表すこともできる。''n''を「2より大きい整数」にしたのは、''n''-1が自然数、すなわち''1より大きい整数''になるように調節するためである。
 
この3つの数の和は、展開や因数分解を用いて、
: <math> n+(n+1)+(n+2) = 3n+3 = 3(n+1)</math>
: <math> (n-1) + n + (n+1) = 3n</math>
と計算することができる。nやn+1は自然数だから、3(''n'' +1)や3''n''はどちらも3の倍数であり、「連続する3つの自然数の和は、3の倍数になる」ことが示された。