「デコヒーレンスの本」の版間の差分

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:<math>\hat{H}(x) \equiv -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2}{\partial x ^2} +U(x)</math>
ここで注意して欲しい事は、<math>\hat{H}(x)</math>と書いたとき、これはハミルトニアンは<math>x</math>の関数や演算子ですよ、という意味で、一方<math>\hat{U}</math>の中の<math>\hat{H}(t-t_0)</math>は、単にハミルトニアン<math>\hat{H}</math>に時間が掛かってるだけです。また、ハミルトニアンは普通、時間微分含まないので<math>\hat{H}(t-t_0)=(t-t_0)\hat{H}</math>と書いても一緒です。
 
これらの式より、量子力学においては
:<math>\Phi (x,t) = \exp \left\{ -\frac{i}{\hbar} \hat{H} (t-t_0) \right\} \Phi (x_0,t_0)</math>
となります。この両辺を時間tで微分してみましょう。すると、
:<math>\frac{\partial}{\partial t} \Phi (x,t) = \frac{\partial}{\partial t} \exp \left\{ -\frac{i}{\hbar} \hat{H} (t-t_0) \right\} \Phi (x_0,t_0) = -\frac{i}{\hbar} \hat{H} \exp \left\{ -\frac{i}{\hbar} \hat{H} (t-t_0) \right\} \Phi (x_0,t_0)</math>
:<math> \quad = -\frac{i}{\hbar} \hat{H} \Phi (x,t) = \frac{1}{ i \hbar} \hat{H} \Phi (x,t) </math>
よって
:<math>i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \Phi (x,t) = \hat{H} \Phi (x,t) </math>
このようにして、時間依存型のシュレーディンガー方程式が得られます。
 
'''この項は書きかけです。'''