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== 集合とはなにか？ ==
集合とは、物の集まりであって、何か物を持ってきたときにそこに属すのか属さないのかどちらかに必ず定まるもののことである。例えば、「標高8500m以上の山」「都道府県であって、人口500万人未満のもの」「すべての二等辺三角形」「正の奇数すべて」などは集合である。ただし、「頭がいい人」のような、何が属して何が属さないのかが曖昧なものは集合とは呼ばないことにする。
集合に属している物のことを'''元'''と呼ぶ。例えば、標高8500m以上の山という集合には、エベレスト、K2、カンチェンジュンガ、ローツェの4つの元がある、などと言う。奇数すべての集合は1,3,5,...という無限個の元から成っている。元が集合に属していることを「<math>\in</math>」という記号で表す。例えば、自然数の全体という集合を<math>\mathbb{N}</math>とすると、<math>1 \in \mathbb{N}</math>と書ける。
なお、元が1つもない集合も集合とみなすことにする。そのような集合を'''空集合'''と呼び、<math>\phi</math>で表す。
== 記法と演算 ==
===外延的記法と内包的記法===
集合をあらわすには、その集合に入っている元をすべて書き表すのが最も簡単だ。例えば「1桁の素数」という集合なら{2,3,5,7}と書ける。このような書き方を'''外延的記法'''という。
しかし、集合の元の数が多くなってくると外延的記法は難しくなってくる。例えば、人口500万人未満の都道府県は38個もあるので全部列挙していたら大変だ。それどころか、正の奇数すべての集合の元は無限個あるので、全部書き表すことは不可能で、{1,3,5,7,...}と書くしかない。しかし、このような書き方は、どのような集合なのか誤解を招きやすい。ある人は、「奇数の素数と1」という集合{1,3,5,7,11,13,17,...}の意味でこのように書くかもしれない。
そこで、ある集合の元が満たすべき性質を書くことで集合をあらわすことを考える。そのような記法を'''内包的記法'''という。内包的記法では、集合の元を代表する文字と満たすべき条件を縦棒を挟んで並べて書く。例えば、正の奇数の集合は
<math> \{ x \mid x=2n-1 , n \in \mathbb{N}\}</math>
と書ける。
===集合算===
集合Qと集合Rの元をあわせた集合を'''和集合'''ないしは'''合併'''といい、<math>Q \cup R</math>と表す。例えば、<math>\{1,2,3\} \cup \{3,4,5\} = \{1,2,3,4,5\}</math>である。
集合Qから集合Rの元を除いたものを'''差集合'''といい、Q-Rないしは<math>Q \setminus R</math>と表す。例えば、<math>\{1,2,3\} \setminus \{3,4,5\} = \{1,2\}</math>である。
集合Qと集合Rの共通する元の集合を'''積集合'''ないしは'''共通部分'''といい、<math>Q \cap R</math>と表す。例えば、<math>\{1,2,3\} \cap \{3,4,5\} = \{3\}</math>である。
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