「有限群論序論」の版間の差分

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必要性は明らかだろう。十分性は以下のように示される。''a'' &isin; ''H''とすると、条件より、''a'' &middot; ''a''<sup>-1</sup> = ''e'' &isin; ''H''である。 よって''a'' &isin; ''H''かつ''e'' &isin; ''H''なので、 条件より''e'' &middot; ''a''<sup>-1</sup> = ''a''<sup>-1</sup> &isin; ''H''である。最後に、''a'' &isin; ''H'' , ''b'' &isin; ''H''とすると、''b'' &isin; ''H''より''b''<sup>-1</sup>&isin; ''H''なので、''a'' &middot; ( ''b''<sup>-1</sup> ) <sup>-1</sup> = ''a'' &middot; ''b'' &isin; ''H''。よって''H''は''G''の部分群である。
 
===準同型写像===
これまではひとつの群についてばかり考えてきたが、ここでは2つの群の間の写像について考えよう。
 
''G''と'' G' ''を群とする。写像<math>f:G \to G'</math>が準同型写像である(あるいは単に準同型である)とは、次の条件を満たすことである。
 
<math>f(x \cdot y) = f(x) \cdot f(y) , \forall x,y \in G</math>
 
準同型であって特に全単射なものを同型という。少し紛らわしい表現だが、''G''から'' G' ''への同型写像があるときこの2つの群は同型であるといい、<math>G \cong G'</math>と書く。
 
明らかに準同型となる例として、部分群からもとの群への包含写像は単射な準同型であり、特に群の恒等写像は同型である。また、準同型の合成は準同型であり、同型の逆写像は同型である。以上から、2つの群が同型であるという関係は同値関係であることがわかる。
 
<math>f:G \to G'</math>を準同型とするとき、<math>\mathrm{Im} f = \{f(x) \in G'|x \in G \}</math>をfの像(image)といい、<math>\ker f = \{ x \in G | f(x) = e_{G'} \}</math>をfの核(kernel)という。imageはG'の、kernelはGの部分群であることはすぐわかる。
 
準同型は必ず単位元を単位元にうつす。すなわち、<math>e_G \in \ker f</math>である。準同型が単射であることは、<math>\ker f = \{ e_G \}</math>と同値である。この事実は準同型の単射性の判定を簡便にするためにしばしば役立つ。
 
===正規部分群===
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''g'' &isin; ''G'' , ''h'' &isin; ''H'' &rArr; ''g'' &middot; ''h'' &middot; ''g''<sup>-1</sup> &isin; ''H''
 
正規部分群の一例として、一般に群の準同型が与えられたとき、そのKernelkernelは正規部分群である。
 
===正規部分群による商群===