「集合論」の版間の差分
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=== 部分集合 ===
集合Sのすべての元が集合Tに属しているとき、SはTの'''部分集合'''であるといい、<math>S \subset T</math>と表す。
また、元が集合に属しているという関係と、元がひとつだけの集合が別の集合の部分集合であるという関係とは似て非なるものである ===集合算===
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<math>X \setminus (S \cup T) = (X \setminus S) \cap (X \setminus T) </math>
== 写像 ==
我々は、関数という概念を既に知っている。fが関数であるとは、xという数に対して別の数f(x)がただひとつ定まることであった。ここでは、関数の概念を一般化した写像という概念を考える。すなわち、集合XとYについて、<math>x \in X</math>に対して<math>f(x) \in Y</math>がただひとつ定まるとき、この対応fはXからYへの写像であるといい、<math>f:X \to Y , x \mapsto f(x)</math>と書くことにする。
=== 像と逆像 ===
写像<math>f:X \to Y</math>とXの部分集合Sがあるとき、Yの部分集合<math>\{ f(x)|x \in S \}</math>をfによるSの像といい、<math>f(S)</math>と書く。
写像<math>f:X \to Y</math>とYの部分集合Tがあるとき、Xの部分集合<math>\{ x|f(x) \in T \}</math>をfによるTの逆像といい、<math>f^{-1}(S)</math>と書く。
特に<math>T= \{ y \}</math>のときには<math>f^{-1}( \{ y \} )</math>を単に<math>f^{-1} (y)</math>と書くこともしばしばある。しかし、この記号は少し紛らわしいので注意すべきである。<math>f(S)</math>と<math>f^{-1}(S)</math>はどちらも集合であるのに対して、<math>f(x)</math>は集合の元だが<math>f^{-1}(y)</math>は集合である。
=== 単射と全射 ===
写像<math>f:X \to Y</math>が<math>f(x)=f(x') \Rightarrow x=x'</math>を満たすとき、fは単射であるという。また、<math>f(X)=Y</math>を満たすとき、fは全射であるという。全射かつ単射であることを全単射であるという。
'''例''' 集合Xと部分集合Sが与えられているとする。このとき、<math>i:S \to X</math>をi(x)=xで定めると、これは単射である。このiを包含写像という。特にS=Xのとき、iは全単射である。このとき恒等写像と呼び、特に<math>id_X</math>と書く。
=== 写像の合成と逆写像 ===
写像<math>f:X \to Y</math>と<math>g:Y \to Z</math>があって、fが全射なとき、写像<math>h:X \to Z , x \mapsto g(f(x))</math>が定まる。これをfとgの合成といい、<math>g \circ f</math>と書く。
写像<math>f:X \to Y</math>と<math>g:Y \to X</math>があって、<math>g \circ f =id_X</math>かつ<math>f \circ g =id_Y</math>を満たすとき、gはfの逆写像であるといい、<math>f^{-1}</math>と書く。
写像fに逆写像が存在することと、写像fが全単射であることは同値である。写像が全単射であることを証明するために、全射かつ単射であることを示すより、具体的に逆写像を構成してしまったほうが簡単な場合がしばしばある。
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