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2 行 ==はじめに== [[解析学基礎_関数\|関数]]の項目で、関数についての復習をしました。ここでは、解析学の根本となる'''極限'''の概念を学びます。関数 f(x) = x<sup>2</sup>を考えます。この関数は、f(2)=4 となります。この関数を少しいじって次のような関数を考えてみます。 ~~Now that we have done a review of functions, we come to the central idea~~ ~~of calculus, the concept of limit.~~ ~~Let's start with a function, f(x) = x<sup>2</sup>. Now we know that f(2) = 4.~~ ~~But let's be a bit mischievous and create a gap at 2. We can do this by creating the function~~ <table WIDTH="75%"><tr><td style="background-color: #FFFFFF; border: solid 1px #D6D6FF; padding: 1em;" valign=top> <center><math>f(x) = \frac{x^2(x-2)}{x-2}.</math></center></td></tr></table> この関数は x ≠ 2 の所では、最初に定義した関数 f(x) = x<sup>2</sup> と同じ値を取ります。ところが x = 2 の所では、分母が0になってしまうので関数の値は定義されていません。 Now this truly is a mischievous function. It's equal to <math>x^2</math> everywhere except at x=2, where it has no well-defined value. Now, one fact about the funny function is that as x gets closer to 2, then f(x) gets closer to 4. This is a useful fact, and we can express this in symbols as x ≠ 2でしか定義されていない関数ですが、一つだけ確かな事があります。それは、x を 2に近付けると f(x)の値が 4に近付くということです。この事を <table WIDTH="75%"><tr><td style="background-color: #FFFFFF; border: solid 1px #D6D6FF; padding: 1em;" valign=top> <center><math>\qquad\lim_{x\to 2} f(x) = 4.</math></center></td></tr></table> と表現します。 Notice it doesn't matter what f(x) is at x=2, in this case we have left it undefined, but it could be 2 or 15 or 1000000. The idea of the limit is that that you can talk about how a function behaves as it gets closer and closer to a value, without talking about how it behaves at that value. Now using variables we can say that ''L'' is the '''limit''' of the function ''f(x)'' as ''x'' approaches ''c'' if ''f(x)'' ≈ ''L'' whenever ''x'' ≈ ''c''. f(x)の x=2での値を考えているわけではなく、x=2の近くでの値を考えていることに注意してください。今の例では、x=2は、関数が定義されていない点でしたが、関数が定義されている点 x=15や x=1000000でも同じ事が考えられます。xをある値に近付ける時に、f(x)が、どのような動きを見せるか？という問題です。xをcに近付けるとき、必ず、f(x)がLに近付く場合、「Lはxをcに近付けた時の関数f(x)の'''極限'''である。」といいます。 ~~We say the limit, as x approaches c, of f(x) is L, if L exists as a finite number. And we express it algebraically as follows~~ xを c に近付けた時の f(x)の極限が Lであるということを数式で :<math>\lim_{x\to c} f(x) = L.</math> と表現します。 ~~Intuitively, the limit ''L'' is simply a number that ''f(x)'' gets closer and closer to as ''x'' approaches ''c'', but ''f(c)'' need not be defined.~~ 繰り返しになりますが、x=cでの f(x)の値を考えているわけではなく、xをcに近付けた時の f(x)の値に注目しているので、x=cでf(x)が定義されているかどうかは関係ありません。直感的には、xがcに限りなく近付いていった時に、f(x)は Lに限りなく近づいていくということです。 ~~Now this idea of talking about a function as it approaches something was a~~ major breakthrough, because it lets us talk about things that we couldn't before. For example, consider the function 1/x. As x gets very big, 1/x gets very small. 1/x gets closer and closer to zero, the bigger x gets. Now without limits its very difficult to talk about this fact, because 1/x never actually gets to zero. But the language of limits exists precisely to let us talk about the behavior of a function as it approaches something, without caring about the fact that it will never get there. So we can say この極限の概念は、これまで表現しにくかった範囲での関数の性質も表現できるようになります。例えば関数 f(x) = 1/xについて考えてみます。この関数は xが大きくなればなるほど、1/xは小さくなっていき、0に近付いていきます。1/x が 0になるということはありませんので、これを表現することは難しいです。しかし、極限という言葉を用いることによって、xを限りなく大きくしたときに、1/xの極限は 0であるということができるようになります。限りなく大きな数という数はありませんが、xを限りなく大きくした時に xがどの数に辿りつくのか？という心配をする必要はありません。重要なのは、xをどうしたときに f(x)がどのように振る舞うか？です。 xを限りなく大きくするということを x → ∞のように表します。この時、1/xが0に近付いていくということを数式で書くと <table WIDTH="75%"><tr><td style="background-color: #FFFFFF; border: solid 1px #D6D6FF; padding: 1em;" valign=top> <center><math>\qquad\lim_{x\to \infin} \frac{1}{x} = 0.</math></center></td></tr></table> となります。 =='''極限'''の形式的な定義==

「解析学基礎/極限」の版間の差分