「解析学基礎/極限」の版間の差分

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:常に|sin(x)| ≤ 1であることに注意してください。
 
==極限の使いどころから微分へ==
<!-- 英語版ではイントロで車の例を持ち出してますが、まだ訳してないので無かった事にして書いてます。 -->
車の運転を例にとります。走行距離が時間に比例する車に乗っているとします。時間を横軸にとり、走行距離を縦軸に取ってグラフを描けば直線が書けます。この車の速さを求めたいときは、走行距離÷時間を計算することにより簡単に求まります。これは、グラフで言えば、直線の傾きにあたります。
 
しかし、普通は車というものは速くなったり遅くなったりして走るため、グラフは直線にはならず、速さを求めることは難しくなります。
To see the power of the limit, let's go back to the moving car we talked about
そこで、瞬間での速さというものを求めるということをします。速さを求めるには二点必要です。二つの時刻での位置から速さを求めます。グラフで言うと、グラフ上の二点を取りその二点を結ぶ直線の傾きを求めるということになります。これは、その二点間での平均の速さを求めるということになります。
at the introduction. Suppose we have a car whose position is linear with respect to time (that is, that a graph plotting the position with respect to time will show a staight line). We want to find the velocity. This is easy to do from algebra, we just take a slope, and that's our velocity.
 
ここで'''微分'''の基本的な考え方に行き着きます。
But unfortunately (or perhaps fortunately if you are a calculus teacher), things in the real world don't always travel in nice straight lines. Cars speed up, slow down, and generally behave in ways that make it difficult to calculate their velocities. (figure 2)
この二点間を限りなく近付けた時に、平均の速さがどうなるかを考えます。つまり、2つの点をとり平均の速さを求め、その二点間から2つの点を選び平均の速さを求め、さらにその二点間から2つの点を選び、平均の速さを求め…ということを繰り返して、二点間の距離を限りなく近付けた時に、平均の速さ(直線の傾き)の極限がどうなるかということを見ていきます。
 
Now what we really want to do is to find the velocity at a given moment. (figure 3) The trouble is that in order to find the velocity we need two points, while at any given time, we only have one point. We can, of course, always find the average speed of the car, given two points in time, but we want to find the speed of the car at one precise moment.
 
Here is where the basic trick of differential calculus comes in. We take the average speed at two moments in time, and then make those two moments in time closer and closer together. We then see what the limit of the slope is as these two moments in time are closer and closer, and as those two moments get closer and closer, the slope comes out to be closer and closer to the slope at a single instant.
 
==連続性==