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<!-- 解析学基礎_関数の内容に合わせて少し改稿 -->
==極限の見をみつけ方る==
ここでは極限であることの証明よりも極限値をみつけるということに注目します。これまでの証明でも、まず最初に、極限の値を見つけることから始めました。どうやって極限値を見つけたのでしょう？
関数がある点''c''で連続であるならば、連続性の定義から点''c''に近付けた時の関数の値の極限は、単に''c''での関数の値に等しくなります。多項式、三角関数、対数関数、指数関数などは、その定義域全体で連続になります。
Now we will concentrate on finding limits, rather than proving them. In the proofs above, we started off with the value of the limit. How did we find it to even begin our proofs?
関数''f''(''x'')が''c''で連続でない場合、有理関数だと ''c'' の近くでは連続で、''c''の所だけが孤立して不連続になっている事も多いです。そういった場合は、''c''を除いて値が一致するような、似たような関数''g''(''x'')を見つけたいと思うことがあります。極限の定義からすると、''x''を''c''に近付けた時の極限が存在するならば
First, if the function is continuous at a particular point ''c'', that the limit is simply the value of the function at ''c'', due to the definition of continuity. All polynomial, trigonometric, logarithmic, and exponential functions are continuous over their domains.
:<math>\lim_{x \rightarrow c} f(x) = \lim_{x \rightarrow c} g(x)</math>
If the function is not continuous at ''c'', then in many cases (as with rational functions) the function is continuous all around it, but there is a discontinuity at that isolated point. In that case, we want to find a similar function, except with the hole is filled in. The limit of this function at ''c'' will be the same, as can be seen from the definition of a limit. The function is the same as the previous except at a point ''c''. The limit definition depends on ''f''(''x'') only at the points where 0 < |''x'' - ''c''| < δ. When ''x'' = ''c'', that inequality is false, and so the limit at ''c'' does not depend on the value of the function at ''c''. Therefore, the limit is the same. And since our new function in continuous, we can now just evaluate the function at ''c'' as before.
を満たさなければなりません。
Lastly, note that the limit might not exist at all. There are a number of ways that this can occur:
このような場合、不連続になっている点の部分を埋めて、元の関数に近い連続な関数を探したくなります。連続の定義によれば、''c''での値が、元の関数の''c''での極限に一致しなければなりません。
関数 g(x) は、''c''を除いて、f(x)と等しい関数です。
<!-- Graphs definately needed here. Need a good method to generate them. -->
f(x) の極限の定義は、0 < |''x'' - ''c''| < δ という集合の上でされていますが、''x'' = ''c''の時、その不等式は成り立たないので、''c''での極限は''c''での関数の値によりません。
したがって、''c'' での極限は f(x) と g(x) で等しくなります。つまり、新しい関数 g(x) は連続なので、''c''での値は、この極限に等しくなければいけないのです。
'''"Gap"''': There a is gap (more than a point wide) in the function where the function is not defined. As an example, in
最後に、極限が存在しない例をいくつかあげておきます。
:<math>f(x) = \sqrt{x^2 - 16}</math> ▼
<!-- グラフが欲しいところ -->
''f'' (''x'') does not have any limit when -4 ≤ ''x'' ≤ 4. There is no way to "approach" the middle of the graph. Note also that the function also has no limit at the endpoints of the two curves generated (at x = -4 and x = 4). For the limit to exist, the point must be approachable from ''both'' the left and the right. Note also that there is no limit at a totally isolated point on the graph.
'''ギャップ''': 関数が定義されていない場所に（広い）ギャップがあることがあります。例えば
'''"Jump"''': It follows from the previous discussion that if the graph suddenly jumps to a different level (creating a discontinuity, where the function is not continuous), there is no limit. This is illustrated in the floor function (in which the output value is the greatest integer not greater than the input value).
▲:<math>f(x) = \sqrt{x^2 - 16}</math>
で、''f'' (''x'') は -4 ≤ ''x'' ≤ 4 では定義されていないとき、この区間に含まれる点には近付きようがありません。区間の端点 x = ±4 でも極限が存在しないことに注意してください。極限が存在するためには、'''両側'''からその点に近付く必要があります。グラフ上で孤立した点などでは極限が存在しないことに注意してください。
:但し、片側だけから近付く場合、例えば、左側からだけ近付いたときの「極限」も考えられます。これを'''左極限'''（'''左側極限'''）、右側からだけ近付いたときの「極限」を'''右極限'''（'''右側極限'''）ということがあります。その場合、ここで定義した「極限」は、'''両極限'''（'''両側極限'''）と言われます。右極限と左極限がともに存在して等しい時、その値が両極限ということになります。
:<math>f(x) = {1 \over x^2}</math> ▼
'''段差''': グラフが途切れて急に高さが変わるような場合です。そのような点でも関数は連続ではありませんし、極限も存在しません。床（''floor''）関数のようなグラフになります。
the graph gets arbitrarily high as it approaches 0. There is no limit.
:階段関数というのは、入力値を越えない整数を返す関数のことです。
'''Infinite oscillation''': These next two can be tricky to visualize. In this one, we mean that a graph continually rises above and below a horizontal line. In fact, it does this infinitely often as you approach a certain ''x''-value. This often means that there is no limit, as the graph never homes in on a particular value. However, if the height (and depth) of each oscillation diminishes as the graph approaches the ''x''-value, so that the oscillations get arbitrarily smaller, then there might actually be a limit.
▲:<math>f(x) = {1 \over x^2}</math>
The use of oscillation naturally calls to mind trigonometric functions. And, indeed, a simply-defined example of this kind of nonlimit is
:<math>f(x) = \sin {1 \over x}.</math> ▼
In the plain old sine function, there are an infinite number of waves as the graph heads out to infinity. The 1/x takes everything that in (1, ∞) and squeezes it into (0, 1). There we have it: infinite oscillation over a finite interval of the graph.
''x''を 0 に近付けると、値がいくらでも大きくなります。この場合も極限はありません。
'''Incomplete graph''': Let us consider two examples. First, let ''f'' be the constant function ''f(q)=2'' defined for some arbitrary number ''q''. <!--which is a rational number. (This datum would make this example totally wrong, for the reasons below)--> Let <math>q_0</math> be an arbitrary value for ''q''.
'''振動''': あるグラフが、x軸に平行な線と何度も交わり、上へ行ったり下に行ったりを繰り返すような場合です。
We can show that ''f'' is continuous at <math>q_0</math>. Let <math>\delta >0</math>; then if we pick ''any'' <math>\epsilon>0</math>, then whenever ''q'' is a real number within <math>\epsilon</math> of <math>q_0</math>, we have <math>|f(q_0)-f(q)| = |2-2| = 0 < \delta</math>. So ''f'' is indeed continuous at <math>q_0</math>.
実際によく起こり、極限が無いこともよくあります。グラフはある''x''の値に近付こうとしても、無限に上下運動を繰り返します。
しかしながら、''x''を近付けるにつれ、振動の高さ（深さ）が限りなく小さくなっていく時は極限が存在します。
よく使われる振動の例として、三角関数を用いたものがあります。極限の無い振動の例として
▲:<math>f(x) = \sin {1 \over x} .</math>
Now let ''g'' be the similar-looking function defined on the entire real line, but we change the value of the function based on whether q is rational or not.
という関数が考えられます。
;<math>g(q)=\left\{\begin{matrix} 2, & \mbox{if }q \mbox{ is rational} \\ 0, & \mbox{if }q \mbox{ is irrational} \end{matrix}\right.</math> ▼
∈関数のグラフは、無限に振動します。この振動の起こっている (1, ∞) という区間を 1/x という変換を用いて (0, 1) に入れます。すると、この有限区間の中に、無限回の振動を詰め込むことができるようになります。実際、この f(x) で ''x'' を 0 に近付けていくと、無限回の振動が起こります。
''Now'' ''g'' is continuous ''nowhere''! For let ''x'' be a real number; we show that ''g'' isn't continuous at ''x''. Let <math>\delta=2</math>; then if ''g'' were continuous at ''x'', there'd be a number <math>\epsilon</math> such that whenever ''y'' was a real number at distance less than <math>\epsilon</math>, we'd have <math>|g(x)-g(y)|<1</math>. But no matter how small we make <math>\epsilon</math> we can find a number ''y'' within <math>\epsilon</math> of ''x'' such that <math>|g(x)-g(y)|=2</math>: for if ''x'' is rational, just pick ''y'' irrational and if ''x'' is irrational, pick ''x'' rational. Thus ''g'' fails to be continuous at every real number!
'''病的なグラフ''': ここでは 2 つの例を考えます。
<!-- (original text follows)
Note that these two examples show how important it is to get the domains of functions sorted out. ''f'' and ''g'' have extremely similar graphs, but their continuity properties are completely opposed.
(end original text)
まず、''f''が 任意の有理数qに対し定数 ''f(q)=2'' を取る場合、''f'' は、任意の q<sub>0</sub> で連続になります。任意の &epsilon > 0 を取ると、任意の δ > 0 に対し、 0< |q-q<sub>0</sub>| < δ を満たす q は | f(q<sub>0</sub> − f(q) | = |2-2| = 0 < ε も満たします。したがって、 ''f'' は q<sub>0</sub> で連続です。
I don't understand why this is wrong. If the domain of f is only the rationals, then, according to our definition of limits (which seems to have vanished from the article), no matter what delta we have there will exist irrational x such that 0 < |x - c| < delta and thus f(x) is not defined and therefore the condition |f(x) - L| < epsilon cannot be true. (And then there is no limit and therefore a discontinuity.) If there is a problem in all this, please let me know. [[User:Eric119|Eric119]] 01:28, 6 Sep 2004 (UTC)
: ''f'' は 有理数上だけで定義されていて、無理数の所では定義されていないことに注意してください。 ''f'' の値が評価できる所だけ、 条件の判定ができます。 ''f'' の値を判定できない無理数の所では 極限や連続の定義は意味を持ちません。
2 つ目の例として、 次のような関数を考えます。
this is just wrong! The real number line is complete, meaning there are no holes. However, if we say ''f'' (''x'') = 2 and restrict the domain of ''f'' to rational numbers, there will be holes at the places corresponding to irrational numbers. There are irrational numbers between any two rational numbers, so all the rational numbers on which ''f'' is defined are isolated from each other. But, there are rational numbers between any two irrational numbers, so each hole must be at a single point. There are infinite irrational numbers over any interval, so there are an infinite number of infinitely small holes between any two points on the graph. The places where ''f'' is defined are also infinite and infinitely small. The function ''f'' has no limits defined anywhere, despite that any graph would look like a simple line. -->
▲;<math>g(q)=\left\{\begin{matrix} 2, & \mbox{if }q \ mboxin\mathbb{ is rationalQ} \\ 0, & \mbox{if }q \ mboxnotin\mathbb{ is irrationalQ} \end{matrix}\right.</math>
<!-- I've patched this example up a little bit, but it needs a great deal of rework. Epsilon-delta type proofs require a little more work than just plugging in values.-->
先程定義した、 ''f'' と似ていますが、今度は無理数の時は 0 という値を取るように定義されています。''g''には連続な点はありません。 ''x'' を実数として、 ''g'' が ''x'' で連続でないことを示します。 ε = 1 とします。 もし ''g'' が ''x'' で連続あるとすると、 |x-y| < δ ならば |g(x)-g(y)|<1 となるような δが存在する筈です。しかし、 δ をどんなに小さくとっても、 |g(x)-g(y)|=2 となるような ''y'' が存在します。 ''x'' が有理数ならば、 ''y'' に無理数をとり、 ''x'' が無理数ならば、 ''y'' に有理数を取ればいいからです。したがって、 ''g'' は全ての実数で連続ではありません。
<!-- exercises needed -->
:この 2 つの病的なグラフの例は重要です。そっくりな例でも結果は逆なのです。 有理数と有理数の間には必ず無理数があり、無理数と無理数の間には必ず有理数があるのでグラフを描こうとしても有理数と無理数の区別を付けられず、 y=g(x) のグラフなどは、視覚的に表現するとすれば y=2 というグラフと y=0 というグラフを合わせたものにせざるを得ません。
<!-- a bunch more stuff about finding limits, until we arrive at... -->
==無限大 ∞ について==
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