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141 行 ==三角関数の代入置換== 被積分関数が<math>\sqrt{a^2-x^2}</math>または<math>\sqrt{a^2+x^2}</math>または<math>\sqrt{x^2-a^2}</math>の形をした因数をただ一つ持つ場合には、三角関数の代入置換により積分ができる場合があります。 <blockquote style="background: white; border: 1px solid black; padding: 1em;"> 151 行 </blockquote> ===正弦の代入置換=== <!--[[Image:Trig_Sub_Triangle_1.png\|frame\|right\|273px\|This substitution is easily derived from a triangle, using the [[w:Pythagorean_Theorem\|Pythagorean Theorem]].]]--> 被積分関数が<math> \sqrt{a^2-x^2} </math>を含む場合には、以下のような代入置換を行います。 :<math>x=a\sin \theta \quad dx=a \cos \theta d\theta</math> 175 行 =\frac{1+x}{\sqrt{1-x^2}} </math> と変形できます。したがって以下のように代入置換を行うことができます。 :<math>\begin{matrix} 187 行 \end{matrix}</math> ===正接の代入置換=== <!--[[Image:Trig_Sub_Triangle_2.png\|frame\|right\|273px\|This substitution is easily derived from a triangle, using the [[w:Pythagorean_Theorem\|Pythagorean Theorem]].]]--> 被積分関数が<math>\sqrt{a^2+x^2}</math>を含むときには、以下のような代入置換を行います。 :<math> x = a \tan \theta \quad \sqrt{x^2+a^2} = a \sec \theta \quad dx = a \sec^2 \theta d\theta </math> 例：被積分関数が (''x''<sup>2</sup>+''a''<sup>2</sup>)<sup>-3/2</sup> のとき、この代入置換により :<math>\begin{matrix} 212 行 :<math>I= \int_0^z \sqrt{x^2+a^2} \quad z>0</math> であるとき、この代入置換により :<math>\begin{matrix} 247 行被積分関数から予想した通り、この積分値は''z''に対し、およそ''z''<sup>2</sup>/2となります。 ===正割の代入置換=== <!--[[Image:Trig_Sub_Triangle_3.png\|frame\|right\|273px\|This substitution is easily derived from a triangle, using the [[w:Pythagorean_Theorem\|Pythagorean Theorem]].]]--> 294 行 ==三角関数の積分== ===正弦・余弦の累乗=== ここでは cos<sup>''m''</sup> (''x'')sin<sup>''n''</sup>(''x'') の形をした関数の一般的な積分の求め方を学びます。まず、例を見てみましょう。 :<math>\int (\cos^3{x})(\sin^2{x})\,dx</math> 被積分関数がコサインの奇数乗を含むことに注意してください。そこでこれを書き直すと以下のようになります。 ~~==Reduction Formula==~~ :<math>\int (\cos^2{x})(\sin^2{x}) \cos{x}\,dx</math> これは、''u'' = sin(''x''), d''u'' = cos(''x'') d''x'' という置換を行うことにより解くことができます。そこで恒等式 :cos(''x'')<sup>2</sup> = 1 - sin<sup>2</sup>(''x'') = 1 - u<sup>2</sup> を用いることにより、被積分関数全体を''u''で表すことが可能です。したがって :<math>\begin{matrix} \int (\cos^3{x})(\sin^2{x})\,dx &=&\int (\cos^2{x})(\sin^2{x}) \cos{x}\,dx\\ &=&\int (1-u^2)u^2\,du\\ &=&\int u^2\,du - \int u^4\,du\\ &=&{1\over 3} u^3+{1\over 5}u^5 + C\\ &=&{1\over 3} \sin^3{x}- {1\over 5} \sin^5{x} + C \end{matrix}</math> となります。この手法はサインまたはコサインの奇数乗が含まれるのならどのようなときにも有効です。 <blockquote style="background: white; border: 1px solid black; padding: 1em;"> ''m''と''n''の'''少なくとも一方が奇数'''のときに<math>\int (\cos^m{x})(\sin^n{x})\,dx</math>を求めるには ''m''が奇数の場合には ''u''=sin''x'' という置換を行い、恒等式cos<sup>2</sup>''x'' = 1 - sin<sup>2</sup>''x''=1-u<sup>2</sup> を用います。 ''n''が奇数の場合には ''u''=cos''x'' という置換を行い、恒等式sin<sup>2</sup>''x'' = 1 - cos<sup>2</sup>''x''=1-u<sup>2</sup> を用います。 </blockquote> ====例==== <math>\int_0^{\pi/2} \cos^{40}{x}\sin^3{x}\,dx</math>を求めてみましょう。サインの奇数乗があるので、<math>u=\cos{x},\,du=-\sin{x}\,dx</math>と置換します。ここで、''x''=0 のとき ''u=cos(0)=1''であり、<math>x=\pi/2</math>のとき<math>u = \cos(\pi/2) = 0</math>であることに注意してください。 <math>\begin{matrix} \int_0^{\pi/2} \cos^{40}(x)\sin^3(x) dx &=& \int_0^{\pi/2} \cos^{40}(x)\sin^2(x) \sin(x) dx \\ &=& -\int_{1}^{0} u^{40} (1-u^2) du \\ &=&\int_{0}^{1} u^{40} (1-u^2) du\\ &=& \int_{0}^{1} u^{40} - u^{42} du \\ &=& [\frac{1}{41}u^{41} - \frac{1}{43}u^{43}]_0^1 \\ &=& \frac{1}{41}-\frac{1}{43} \end{matrix} </math> ''m''と''n''の両方が偶数であるときには、話は少し複雑になります。 <blockquote style="background: white; border: 1px solid black; padding: 1em;"> ''m''と''n''の'''両方が偶数'''のときに</math>\int (\cos^m{x})(\sin^n{x})\,dx</math>を求めるには <br>恒等式 sin<sup>2</sup>''x'' = 1/2 (1- cos 2''x'') , cos<sup>2</sup>''x'' = 1/2 (1+ cos 2''x'') を用います。 </blockquote> ====例==== <math>\int \sin^2{x}\cos^4{x}\,dx</math>を求めてみましょう。 sin<sup>2</sup>''x'' = 1/2 (1 - cos2''x''), cos<sup>2</sup>''x'' = 1/2 (1+cos2''x'')であるので、 :<math> \int \sin^2 x\cos^4 x\,dx = \int \left( {1 \over 2}(1 - \cos 2x) \right) \left( {1 \over 2}(1 + \cos 2x) \right)^2 \,dx, </math> and expanding, the integrand becomes :<math>\frac{1}{8} \left(\int 1 - \cos^2 2x + \cos 2x- \cos^3 2x \,dx\right).</math> 倍角の公式より :<math>\begin{matrix} I & = & \frac{1}{8} \left( \int 1 \, dx - \int \cos^2 2x \, dx + \int \cos 2x \,dx -\int \cos^3 2x \,dx \right) \\ & = & \frac{1}{8} \left( x - \frac{1}{2} \int (1 + \cos{4x})\,dx + \frac{1}{2}\sin{2x} -\int \cos^2 2x \cos 2x \,dx\right) \\ & = & \frac{1}{16} \left( x + \sin{2x} + \int \cos{4x} \,dx -2 \int(1-\sin^2 2x)\cos 2x \,dx\right) \\ \end{matrix}</math> 以上より :<math>I=\frac{x}{16}-\frac{\sin 4x}{64} + \frac{\sin^3 2x }{48}+C </math> を得ます。 ===正接・正割の累乗=== <blockquote style="background: white; border: 1px solid black; padding: 1em;"> <math>\int (\tan^m{x})(\sec^n{x})\,dx</math>を求めるには #''n''が偶数かつ<math>n \ge 2</math>ならば ''u''=tan''x'' と置換し恒等式 sec<sup>2</sup> ''x'' = 1 + tan<sup>2</sup>''x'' を用います。 #''n''と''m''の両方が奇数ならば ''u''=sec''x'' と置換し恒等式tan<sup>2</sup>''x'' = sec<sup>2</sup>''x''-1 を用います。 #''n''が奇数かつ''m''が偶数ならば恒等式tan<sup>2</sup>''x'' = sec<sup>2</sup>''x''-1を用い、<math>\sec^j{x}\,dx</math>を積分するために換算公式を適用します。 </blockquote> ==== 例１ ==== <math>\int \sec^2{x}\,dx</math>を求めてみましょう。 <math>\sec{x}</math>の偶数乗があります。<math>u=\tan{x}</math>と置換すると、<math>du = \sec^2{x}\,dx</math>となり、 :<math>\int \sec^2{x}\,dx = \int\,du = u + C = \tan{x} + C</math> が得られます。 ==== 例２ ==== <math>\int \tan{x}\,dx</math>を求めてみましょう。 <math>u = \cos{x}</math>と置換すると<math>du = -\sin{x}\,dx</math>となり、 <math>\begin{matrix} \int \tan x dx &=& \int \frac{\sin x}{\cos x} dx \\ &=& \int \frac{-1}{u} du \\ &=& -\ln \|u\| + C \\ &=& -\ln \|\cos x \| + C\\ &=& \ln \|\sec x\| +C \end{matrix}</math> が得られます。 ==== 例３ ==== <math>\int \sec{x}\,dx</math>を求めてみましょう。これを解くための鍵は、以下のように同じものを掛けて割ることです。 <math>\begin{matrix} \int \sec x dx &=& \int \sec x \frac{\sec x + \tan x}{\sec x + \tan x} dx \\ &=& \int \frac{\sec^2 x + \sec x \tan x}{\sec x+ \tan x}\,dx \end{matrix}</math> <math>u = \sec{x} + \tan{x}</math>と置換を行うと、<math>du = (\sec{x}\tan{x} + \sec^2{x})\,dx</math>となり、 <math>\begin{matrix} \int \sec x dx &=& \int \frac{1}{u} du\\ &=& \ln \|u\| + C \\ &=& \ln \|\sec x + \tan x\| + C \end{matrix}</math> が得られます。 ===更なる三角関数の組合せ=== <blockquote style="background: white; border: 1px solid black; padding: 1em;"> 積分<math>\int \sin{nx}\cos{mx}\,dx</math>や<math>\int \sin{nx}\sin{mx}\,dx</math>や<math>\int \cos{nx}\cos{mx}\,dx</math>を求めるためには、恒等式 <math> \sin{a}\cos{b} = { 1 \over 2}(\sin{(a+b)}+\sin{(a-b)} \, </math> <math> \sin{a}\sin{b} = {1\over 2}(\cos{(a-b)}-\cos{(a+b)}) \,</math> *<math> \cos{a}\cos{b} = {1\over 2}(\cos{(a-b)}+\cos{(a+b)}) \,</math> を用います。 </blockquote> ==== 例１ ==== <math> \int \sin{3x}\cos{5x}\,dx</math>を求めてみましょう。ここでは、 sin ''a'' cos ''b''=(1/2)(sin(''a''+''b'')+sin(''a''-''b'')) 、つまり :<math>\sin{3x}\cos{5x}=(\sin{8x}+\sin{(-2x)})/2 \,</math> という事実を使うことができます。そこでsin(''x'')の奇関数特性を用いて簡単にすると :<math>\sin{3x}\cos{5x}=(\sin{8x}-\sin{2x})/2 \,</math> これを積分することができ、 :<math>\begin{matrix} \int \sin{3x}\cos{5x}\,dx & = & \frac{1}{2} \int \sin{8x}-\sin{2x}dx \\ & = & \frac{1}{2}(-\frac{1}{8}\cos{8x}+\frac{1}{2}\cos{2x}) +C \\ \end{matrix}</math> を得ます。 ==== 例２ ==== <math>\int \sin x \sin{2x} \, dx</math>を求めてみましょう。恒等式 :<math>\sin x \sin 2x= \frac{1}{2} \left( \cos (-x)-\cos (3x) \right) = \frac{1}{2} (\cos x -\cos 3x).</math> を用いると :<math>\begin{matrix} \int \sin{x}\sin{2x}\,dx & = & \frac{1}{2} \int (\cos{x}-\cos{3x})\,dx \\ & = & \frac{1}{2}(\sin{x}-\frac{1}{3}\sin{3x}) + C \end{matrix}</math> を得ます。 ==換算公式== 305 ⟶ 472行目: ==Irrational functions== [[en:Calculus:Further_Integral_Techniques]]

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