「集合論」の版間の差分

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== 写像 ==
我々は、関数という概念を既に知っている。fが関数であるとは、xという数に対して別の数f(x)がただひとつ定まることであった。ここでは、関数の概念を一般化した写像という概念を考える。すなわち、集合XとYについて、<math>x \in X</math>に対して<math>f(x) \in Y</math>がただひとつ定まるとき、この対応fはXからYへの'''写像'''であるといい、<math>f:X \to Y , x \mapsto f(x)</math>と書くことにする。
 
=== 像と逆像 ===
写像<math>f:X \to Y</math>とXの部分集合Sがあるとき、Yの部分集合<math>\{ f(x)|x \in S \}</math>をfによるSの''''''といい、<math>f(S)</math>と書く。
 
写像<math>f:X \to Y</math>とYの部分集合Tがあるとき、Xの部分集合<math>\{ x|f(x) \in T \}</math>をfによるTの'''逆像'''といい、<math>f^{-1}(T)</math>と書く。
 
特に<math>T= \{ y \}</math>のときには<math>f^{-1}( \{ y \} )</math>を単に<math>f^{-1} (y)</math>と書くこともしばしばある。しかし、この記号は少し紛らわしいので注意すべきである。<math>f(S)</math>と<math>f^{-1}(T)</math>はどちらも集合であるのに対して、<math>f(x)</math>は集合の元だが<math>f^{-1}(y)</math>は集合である。
 
=== 単射と全射 ===
写像<math>f:X \to Y</math>が<math>f(x)=f(x') \Rightarrow x=x'</math>を満たすとき、fは'''単射'''であるという。また、<math>f(X)=Y</math>を満たすとき、fは'''全射'''であるという。全射かつ単射であることを'''全単射'''であるという。
 
'''例''' 集合Xと部分集合Sが与えられているとする。このとき、<math>i:S \to X</math>をi(x)=xで定めると、これは単射である。このiを'''包含写像'''という。特にS=Xのとき、iは全単射である。このとき'''恒等写像'''と呼び、特に<math>id_X</math>と書く。
 
=== 写像の合成と逆写像 ===
写像<math>f:X \to Y</math>と<math>g:Y \to Z</math>があるとき、写像<math>h:X \to Z , x \mapsto g(f(x))</math>が定まる。これをfとgの'''合成'''といい、<math>g \circ f</math>と書く。
 
写像<math>f:X \to Y</math>と<math>g:Y \to X</math>があって、<math>g \circ f =id_X</math>かつ<math>f \circ g =id_Y</math>を満たすとき、gはfの'''逆写像'''であるといい、<math>f^{-1}</math>と書く。
 
写像fに逆写像が存在することと、写像fが全単射であることは同値である。写像が全単射であることを証明するために、全射かつ単射であることを示すより、具体的に逆写像を構成してしまったほうが簡単な場合がしばしばある。
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== 同値関係と商集合 ==
=== 同値関係 ===
「~」が集合A上の二項関係であるとは、任意の<math>a,b \in A</math>について、a~bであるかまたはそうでないかが必ず定まることである。例えば、実数の集合における「=」「≦」などは二項関係である。さらに、二項関係であって次の3つを満たすもののことを'''同値関係'''と呼ぶ。
# <math>a \in A \Rightarrow a \sim a</math>(反射律)
# <math>a \sim b \Rightarrow b \sim a</math>(対称律)
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<math>C(a)= \{ x \in A | x \sim a \}</math>
 
すなわちC(a)とは、同値関係~によってaと同値な元全体の集合である。これを~に関するaの'''同値類'''と呼ぶ。このように定めると、次の性質が成り立つことが容易にわかる。
# <math> C(a)=C(b) \Leftrightarrow a \sim b</math>
# <math> C(a) \neq C(b) \Rightarrow C(a) \cap C(b) = \phi</math>
この2番目の性質は、同値関係が与えられると、元の集合Aは、互いに交わらない部分集合族によって分割(直和分解)されることを表している。この、Aを分割する部分集合族のことを、Aを同値関係~で割った'''商集合'''といい、A/~と書く。集合の言葉できちんと書くと下のようになる。
 
<math> A/ \sim = \{ C(a) | a \in A \} </math>
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<math>\pi : A \to A/\sim , x \mapsto C(x)</math>
 
この写像は明らかに全射である。この写像のことを、'''標準的全射'''とか、'''自然な全射'''という。