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===指数関数の微分===
<!-- この項は元々、sinhを用いた証明がされていますが、微分を習う以前から sinhに馴染んでいない日本人としてはあまりよくないので少し証明を変えます。-->
指数関数 e<sup>x</sup> の微分を求めます。
To determine the derivative of an exponent requires use of the ''symmetric difference'' equation for determining the derivative:
:<math>\frac{d}{dx} f(e^x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(e^{x+h)} - f(e^{x - h)}}{2hh}</math>
Then we apply some basic algebra with powers (specifically that指数法則 ''a''<sup>''b'' + ''c''</sup> = ''a''<sup>''b''</sup> ''a''<sup>''c''</sup> )を用いることにより: ▼First we will solve this for the specific case of an exponent with a base of ''e'' and then extend it to the general case with a base of ''a'' where ''a'' is a positive real number.
:<math>\frac{d}{dx} e^x = \lim_{h \to 0} \frac{e^{x} e^{h} - e^{x} }{h} = e^ x \cdot \lim_{ -h \to 0} \frac{e^{h} - 1 }{ 2hh}</math> ▼First we set up our problem using ''f''(''x'') = ''e''<sup>''x''</sup>:
ここで、 p = e<sup>h</sup>−1 とおくと
:<math>\frac{d}{dx} e^x = \lim_{h \to 0} \frac{e^{x+h} - e^{x-h}}{2h}</math>
:<math>\frac{ d}e^{ dxh} e^x- =1 e^x \cdot \lim_}{h \to 0} =\frac {p}{\ sinhln( hp+1) }{h}</math> ▼となります。ここで、 lnは対数関数です。 logという記号を用いることもあります。
この式の逆数を考えると
:<math>\frac{ d}{dx}e^{x \cdot \ln( ap+1) }{p} = \ln\left [ ((p+1)^{\frac{ d1}{ dxp}} x\cdot \ln(a) \right ] e^{x \cdot \ln(a) } </math> ▼自然対数 eの定義から
▲:<math> \frac{d}{dx} e^x = \lim_{ hp \to 0} (p+1)^{\frac{ e^1}{ x+hp}} -= e ^{x-h}}{2h}</math>
となり、''h'' → 0 の時 ''p'' → 0 ですから
:<math> \frac{d}{dx} e^x = e^x \cdot \lim_{h \to 0} \frac{e^{h} - e^1 }{ -h} = \lim_{p \to 0} \frac{ 2hp} {\ln(p+1)} = 1</math> ▼となります。
即ち、次の公式が得られました。
▲Then we apply some basic algebra with powers (specifically that ''a''<sup>''b'' + ''c''</sup> = ''a''<sup>''b''</sup> ''a''<sup>''c''</sup>):
▲:<math>\frac{d}{dx} e^x = \lim_{h \to 0} \frac{e^{x} e^{h} - e^{x} e^{-h} }{2h}</math>
Treating ''e''<sup>''x''</sup> as a constant with respect to what we are taking the limit of, we can use the limit rules to move it to the outside, leaving us with:
▲:<math>\frac{d}{dx} e^x = e^x \cdot \lim_{h \to 0} \frac{e^{h} - e^{-h} }{2h}</math>
A careful examination of the limit reveals a hyperbolic sine:
▲:<math>\frac{d}{dx} e^x = e^x \cdot \lim_{h \to 0} \frac{\sinh(h)}{h}</math>
Which for very small values of ''h'' can be approximated as ''h'', leaving us with:
<table WIDTH="75%"><tr><td style="background-color: #FFFFFF; border: solid 1px #D6D6FF; padding: 1em;" valign=top>
<center>'''Derivative of the exponential function指数関数の微分'''<br>
<math>\frac{d}{dx}e^x = e^x\,\!</math><br>
</center></td></tr></table>
in which <math>f'(x) = f(x) </math>.
つまり、指数関数 e<sup>x</sup> は 微分しても変わらない関数 <math>f'(x) = f(x) </math> です。これはとても重要な性質です。
Now that we have derived a specific case, let us extend things to the general case. Assuming that ''a'' is a positive real constant, we wish to calculate:
指数関数でも、底が ''e'' ではなく、 ''a'' > 0 だったらどうなるでしょうか？つまり
:<math>\frac{d}{dx}a^x</math>
を計算します。対数関数を用いて ''e''<sup>ln(''c'')</sup> = ''c'' となることに注意すると
One of the oldest tricks in mathematics is to break a problem down into a form that we already know we can handle. Since we have already determined the derivative of ''e''<sup>x</sup>, we will attempt to rewrite ''a''<sup>''x''</sup> in that form.
Using that ''e''<sup>ln(''c'')</sup> = ''c'' and that ln(''a''<sup>''b''</sup>) = b · ln(a), we find that:
:<math>a^x = e^{x \cdot \ln(a)} </math>
という形になります。あとは、合成関数の微分によって、
:<math>\frac{d}{dx}e^{x \cdot \ln(a)} = \left[ \frac{d}{dx} x\cdot \ln(a) \right] e^{x \cdot \ln(a)} = \ln(a) e^x </math>
Thus, we simply apply the chain rule:
となります。したがって、次の公式が得られました。
▲:<math>\frac{d}{dx}e^{x \cdot \ln(a)} = \left[ \frac{d}{dx} x\cdot \ln(a) \right] e^{x \cdot \ln(a)} </math>
In which we can solve for the derivative and substitute back with ''e''<sup>x · ln(''a'')</sup> = ''a''<sup>''x''</sup> to get:
<table WIDTH="75%"><tr><td style="background-color: #FFFFFF; border: solid 1px #D6D6FF; padding: 1em;" valign=top>
<center>'''Derivative of the exponential function指数関数の微分'''<br>
<math>\frac{d}{dx}a^x = \ln\left(a\right)a^x\,\!</math><br>
</center></td></tr></table>
''a'' = ''e'' としたときに、 先程の公式と同じになることに注意してください。
===対数関数の微分===
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